Lösung für Primzahlen in Gleichungssystem

Aufrufe: 619     Aktiv: 11.10.2020 um 16:07
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Hallo,
Ich habe Probleme die folgende Aufgabe zu verstehen:
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Gegeben ist die Matrix A:
(4 3 4) (x1)     (5)
(2 1 7) (x2) = (14)
(3 1 8) (x3)    (16)

Für jede Primzahl Fp = Z/pZ gibt es eine Lösung in x1, x2, x3
a) Bestimmen sie die Determinante von A
b) Bestimmen sie für jedes p die Anzahl seiner Lösungen in x1, x2, x3 element von F^3 des Gleichungssystems

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Zu a: Ist die Determinante von 
(4 3 4)
(2 1 7)
(3 1 8) zu bestimmen? Also nur vom ersten Teil der Matrix A?

Zu b: Hä? Welche Primzahlen soll ich jetzt durch gehen? Und was genau soll ich tun? Kann jemand die Aufgabenstellung vielleicht umformulieren?

Vielen Dank für jegliche Hilfe

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Zu a) Die Aufgabenstellung ist unsauber formuliert. Geg. ist nicht A, sondern ein LGS. In diesem kommt A vor, und damit ist die 3x3-Matrix gemeint. Also: det A ausrechnen.

Zu b): Was weißt Du über die Lösbarkeit von LGS in Abhängigkeit von det A? Alle Sätze, die man so kennt, gelten hier auch, wir sind ja in einem Körper F_p.

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a) Ok, vielen Dank.

b) Also ich habe die determinante 15 errechnet. Determinante ungleich 0 heißt es gibt eine eindeutige Lösung, richtig? Also ist die Lösung für alle Primzahlen gleich?   ─   ellyonjune 10.10.2020 um 20:16
Gut, also:
Lösung p2 = (-1, 1, -1) weil:
(010|1)
(011|0)
(110|0)

Lösung p3 = keineweil:
(101|2)
(000|0)
(000|0)

Lösung p5 = keine weil
(101|-1)
(020|0)
(000|4)

Lösung p7 = (5/18, 5/9, 2/6) weil
(434|5)
(210|0)
(311|2)

Lösung p13 = (1/8, 9/4, 1/4) weil
(013|3)
(230|7)
(0012|3)

Und ich möchte eigentlich nicht noch mehr Primzahlen durchgehen, also wage ich mal eine vermutung: Bei Primzahlen die unsere Determinante 15 teilen gibt es keine Lösungen, bei allen anderen Primzahlen gibt es nur eine Lösung?

EDIT: bei p3 gibt es unendlich viele lösungen. Aber trotzdem sind primteiler anders als andere Primzahlen, richtig?^^'
   ─   ellyonjune 10.10.2020 um 21:51
Guten Morgen,
also ich bin noch einmal alle mit deinen Hinweisen (nicht negativ, keine brüche) durch gegangen und komme jetzt auf:
p2 = (1,1,1)
p3 = keine
p5 = keine
p7 = (0,0,0)
p13 = (0,0,0)

Kommt das der korrekten Lösung schon näher?   ─   ellyonjune 11.10.2020 um 10:47
Wie funktioniert denn diese 5 sekunden probe?^^'

Meine Vermutung ist, dass es für alle Primzahlen exakt eine Lösung gibt, außer bei Primteilern. Da....also wenn es für p3 3 Lösungen gibt, gibt es bei p5 vielleicht 5 Lösungen?   ─   ellyonjune 11.10.2020 um 12:07
Durch umformung ergibt sich bei p3:
(101|2)
(012|1)
(000|0)
Weil wir uns aber in F3 befinden, gibt es nicht unendlich viele Lösungen, sondern 3.

Bei p = 5 ergibt sich:
(000|2)
(020|0)
(313|1)
Für p = 5 gibt es also definitiv keine Lösung.

Heißt: Es gibt für alle alle p genau eine eindeutige Lösung, außer für p die die Determinante teilen. Bei diesen muss die Anzahl der Lösungen berechnet werden.
   ─   ellyonjune 11.10.2020 um 14:55
Durch einsetzen. Es gibt nur eine freie Variable, also ergeben sich die drei Möglichkeiten (1,2,1)(0,2,2)(210)
Es gibt wahrscheinlich eine bessere Methode als alle durch probieren?^^'   ─   ellyonjune 11.10.2020 um 15:20
Ok, super, vielen, vielen Dank! Ich denke jetzt sollte ich bei weiteren Aufgaben dieser Art gewappnet sein :D   ─   ellyonjune 11.10.2020 um 16:07

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