Immer dran denken: Bei Aufgaben mit a) und b) könnte die Idee sein, bei b) den Teil a) zu benutzen. Möglicherweise ist sogar das Integral aus b) das gleiche wie in a), wenn man es geschickt anstellt?!
Und dann die Überschrift "Rückwärts gedacht": Beim Residuensatz will man ein Kurvenintegral in C ausrechnen ohne zu integrieren. Hier wollen wir ein reelles Integral berechnen. Eine Kurve haben wir erstmal nicht. Du kennst die Singularitäten von f aus a). Wir brauchen eine Kurve, die diese umläuft. Bei b) siehst Du [0,2pi], da fällt Dir ein, ein Kreis wäre nicht schlecht. Nehmen wir also \(\gamma (t) = e^{2a}e^{it}\) mit \(t\in [0,2\pi]\). Mach Dir klar, dass damit der Residuensatz in a) anwendbar ist, wende ihn an. Dieses Integral ist - bis auf einen konstanten Faktor das gleiche wie in b) (wenn ich mich nicht verrechnet habe). Um das zu sehen, muss man den Bruch noch etwas erweitern.... hoffe Du bist fit in Potenzrechenregeln.
Rückwärts gedacht also: Wir haben ein reelles Integral, erkennen ;-), dass das ein Kurvenintegral ist, was wir leicht mit dem Residuensatz berechnen können.
Nun mach mal und melde Dich mit Ergebnissen.
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─ felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her
─ felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her
danke ─ felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her
Die rechnung ist wieder oben
─ felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her
Unten beim tan-Integral (außer dass wieder das dt fehlt) stimmt die tan-Formel nicht. Und dann ist kein Wunder, dass es nicht passt. Mach es bitte EINMAL sorgfältig (das geht schneller als 5mal flüchtig und schnell was hingeschrieben). ─ mikn 1 Monat, 3 Wochen her
ich habe jetzt gerade noch weiter vereinfacht und komme auf ein integral von 0 bis 2pi über i^2 * tan(-ai+t)
─ felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her
─ felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her
"Wir wissen:" Beim Residuensatz werden die Umlaufzahlen mit den Residuen multipliziert und dann addiert. Die Umlaufzahlen kannst Du erst kennen, wenn Du Dich für eine Kurve entscheidest. Die Kurve kommt aber erst später ins Spiel.
Und warum sollte für das reelle Integral in b) 0 rauskommen? Ich sehe keinen Grund. ─ mikn 1 Monat, 3 Wochen her
Das Integral aus b) scheint 2*pi*i zu sein, falls a>0 und -2*pi*i, falls a<0.
(Nochmal editiert, unpassende Idee entfernt)
─ mikn 1 Monat, 3 Wochen her
\(\int_C = 2\pi\,i\) Residuensatz. Also ist \(2\pi\,i= -\int \tan (-ai+t)\,dt\). Damit haben wir
\(\int \tan (bi+t)\, dt = -2\pi\,i\), falls b<0 (denn dann setzen wir a=-b>0).
Im Fall a<0 muss man ne andere Kurve nehmen, oder den Fall auf den anderen zurückführen. Da fehlt mir noch ne elegante Idee, sorry. Es gibt vielleicht auch eine Kurve, mit der man beide Fälle zusammen erledigen kann, hab aber noch keine gefunden bei der man wenig rechnen muss.
─ mikn 1 Monat, 3 Wochen her
─ felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her
─ mikn 1 Monat, 3 Wochen her