Residuensatz

Aufrufe: 990     Aktiv: 01.12.2020 um 14:50
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Hallo meine Frage bezieht sich auf die beiden Aufgaben. Die a) habe ich denke ich verstanden. Der Nenner muss Null sein in den Singularitäten und daraus kriege ich meine Residuen. Wie gehe ich jedoch die b) an?

 

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Ich verstehe um ehrlich zu sein den Sinn der Aufgabe nicht. Aber vielleicht hilft dir \( \tan(x) =\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) weiter.   ─   gardylulz 27.11.2020 um 20:13
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Immer dran denken: Bei Aufgaben mit a) und b) könnte die Idee sein, bei b) den Teil a) zu benutzen. Möglicherweise ist sogar das Integral aus b) das gleiche wie in a), wenn man es geschickt anstellt?!

Und dann die Überschrift "Rückwärts gedacht": Beim Residuensatz will man ein Kurvenintegral in C ausrechnen ohne zu integrieren. Hier wollen wir ein reelles Integral berechnen. Eine Kurve haben wir erstmal nicht. Du kennst die Singularitäten von f aus a). Wir brauchen eine Kurve, die diese umläuft. Bei b) siehst Du [0,2pi], da fällt Dir ein, ein Kreis wäre nicht schlecht. Nehmen wir also \(\gamma (t) = e^{2a}e^{it}\) mit \(t\in [0,2\pi]\). Mach Dir klar, dass damit der Residuensatz in a) anwendbar ist, wende ihn an. Dieses Integral ist - bis auf einen konstanten Faktor das gleiche wie in b) (wenn ich mich nicht verrechnet habe). Um das zu sehen, muss man den Bruch noch etwas erweitern.... hoffe Du bist fit in Potenzrechenregeln.

Rückwärts gedacht also: Wir haben ein reelles Integral, erkennen ;-), dass das ein Kurvenintegral ist, was wir leicht mit dem Residuensatz berechnen können.

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Hallo, danke erstmal für die Antwort. Ich habe jetzt bei der a) 3 Residuen berechnet. -1 und 1 und 1. Um das Integral nun aber als Kurvenintegral aufzufassen müsste ich ja tan(e^2a*e^it) nehmen, richtig?
   ─   felixwaldherr420 27.11.2020 um 23:43
Ich habe oben meinen Rechenweg reingestellt ich komme dort nicht weiter..
   ─   felixwaldherr420 27.11.2020 um 23:58
Ja ich habe leider das ganze kurz hingekritzelt sorry :) okay stimmt den vergleich habe ich vergessen. ich melde mich falls ich probleme habe
danke   ─   felixwaldherr420 28.11.2020 um 00:13
Okay ich habe einen sinvollen ausdruck gefunden denke ich. Ich bekomme nun aber tan(a+it) heraus und nicht tan(ia+t)
Die rechnung ist wieder oben
   ─   felixwaldherr420 28.11.2020 um 00:21
Ich entschuldige mich für die Schreibweise gestern... war schon spät :) ich habs jetz mal ordentlich aufgeschrieben aber ab dem punkt komme ich einfach nicht weiter

ich habe jetzt gerade noch weiter vereinfacht und komme auf ein integral von 0 bis 2pi über i^2 * tan(-ai+t)


   ─   felixwaldherr420 28.11.2020 um 14:16
Das verstehe ich leider nicht... Ich habe mal das gesamte blatt hochgeladen. das problem meiner meinung ist dass selbst wenn ich den residuensatz anwenden kann kommt hier nicht null raus (es sollte doch beim integral bei der b) null rauskommen?). liegt das evtl. an einer falschen singularitäten berechnung? vielen dank für die antwort heute abend
   ─   felixwaldherr420 28.11.2020 um 15:12
Erstmal danke für die ganze Hilfe. Mein Prof hat gemeint der ansatz ist definitiv richtig aber die terme sollen sich nur um eine konstante unterscheiden und das meintest du doch am Anfang auch oder?
   ─   felixwaldherr420 01.12.2020 um 12:50
naja wir haben ja irgnen term mit tangens und der unterscheidet sich nur um ne konstante von dem term angegeben in der b)   ─   felixwaldherr420 01.12.2020 um 14:37

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.