Residuensatz

Aufrufe: 184     Aktiv: 1 Monat, 3 Wochen her

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Hallo meine Frage bezieht sich auf die beiden Aufgaben. Die a) habe ich denke ich verstanden. Der Nenner muss Null sein in den Singularitäten und daraus kriege ich meine Residuen. Wie gehe ich jedoch die b) an?

 

gefragt 1 Monat, 3 Wochen her

 

Ich verstehe um ehrlich zu sein den Sinn der Aufgabe nicht. Aber vielleicht hilft dir \( \tan(x) =\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) weiter.   ─   gardylulz 1 Monat, 3 Wochen her
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1 Antwort
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Immer dran denken: Bei Aufgaben mit a) und b) könnte die Idee sein, bei b) den Teil a) zu benutzen. Möglicherweise ist sogar das Integral aus b) das gleiche wie in a), wenn man es geschickt anstellt?!

Und dann die Überschrift "Rückwärts gedacht": Beim Residuensatz will man ein Kurvenintegral in C ausrechnen ohne zu integrieren. Hier wollen wir ein reelles Integral berechnen. Eine Kurve haben wir erstmal nicht. Du kennst die Singularitäten von f aus a). Wir brauchen eine Kurve, die diese umläuft. Bei b) siehst Du [0,2pi], da fällt Dir ein, ein Kreis wäre nicht schlecht. Nehmen wir also \(\gamma (t) = e^{2a}e^{it}\) mit \(t\in [0,2\pi]\). Mach Dir klar, dass damit der Residuensatz in a) anwendbar ist, wende ihn an. Dieses Integral ist - bis auf einen konstanten Faktor das gleiche wie in b) (wenn ich mich nicht verrechnet habe). Um das zu sehen, muss man den Bruch noch etwas erweitern.... hoffe Du bist fit in Potenzrechenregeln.

Rückwärts gedacht also: Wir haben ein reelles Integral, erkennen ;-), dass das ein Kurvenintegral ist, was wir leicht mit dem Residuensatz berechnen können.

Nun mach mal und melde Dich mit Ergebnissen.

geantwortet 1 Monat, 3 Wochen her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 10.14K
 

Hallo, danke erstmal für die Antwort. Ich habe jetzt bei der a) 3 Residuen berechnet. -1 und 1 und 1. Um das Integral nun aber als Kurvenintegral aufzufassen müsste ich ja tan(e^2a*e^it) nehmen, richtig?
  ─   felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her

Nein, das Kurvenintegral ist das in a). Das in b) ist ein normales Integral, da ist doch gar keine Kurve involviert.   ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

Ich habe oben meinen Rechenweg reingestellt ich komme dort nicht weiter..
  ─   felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her

So schnell darf man nicht aufgeben. Das obere Integral ist Unsinn, wie schon gesagt. Im unteren hast Du die Def. vom Kurvenintegral nicht richtig angewandt, die Dir aber anscheinend schon bekannt ist. Und wo ist das dt geblieben? Wenn man hier nicht sorgfältig ist, hat man keine Chance bei der Aufgabe. Gleichzeitig muss natürlich das reelle Integral in b) auch umgeschrieben werden, indem tan ersetzt wird durch einen Ausdruck mit e-Funktionen. Und dann vergleichen.   ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

Ja ich habe leider das ganze kurz hingekritzelt sorry :) okay stimmt den vergleich habe ich vergessen. ich melde mich falls ich probleme habe
danke
  ─   felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her

Gut, mach das.   ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

Okay ich habe einen sinvollen ausdruck gefunden denke ich. Ich bekomme nun aber tan(a+it) heraus und nicht tan(ia+t)
Die rechnung ist wieder oben
  ─   felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her

Was ein Durcheinander. Die obere Zeile ist richtig, aber dt fehlt. Was direkt dadrunter steht, weiß ich nicht, woher das kommt. Du versuchst anscheinend - was sinnvoll ist, die beiden Integrale aneinander anzunähern, aber losgelöst was hinschreiben verwirrt nur (mich und Dich vermutlich auch).
Unten beim tan-Integral (außer dass wieder das dt fehlt) stimmt die tan-Formel nicht. Und dann ist kein Wunder, dass es nicht passt. Mach es bitte EINMAL sorgfältig (das geht schneller als 5mal flüchtig und schnell was hingeschrieben).
  ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

Ich entschuldige mich für die Schreibweise gestern... war schon spät :) ich habs jetz mal ordentlich aufgeschrieben aber ab dem punkt komme ich einfach nicht weiter

ich habe jetzt gerade noch weiter vereinfacht und komme auf ein integral von 0 bis 2pi über i^2 * tan(-ai+t)


  ─   felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her

Ich kann mir das erst heute abend genauer anschauen. Aber wenn das letzte stimmt, dann ist ja in dem reellen Integral -a, was bei Kurvenintegral a ist. Damit kann man es auch berechnen.   ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

Das verstehe ich leider nicht... Ich habe mal das gesamte blatt hochgeladen. das problem meiner meinung ist dass selbst wenn ich den residuensatz anwenden kann kommt hier nicht null raus (es sollte doch beim integral bei der b) null rauskommen?). liegt das evtl. an einer falschen singularitäten berechnung? vielen dank für die antwort heute abend
  ─   felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her

Erste Anmerkungen (weiteres folgt): Bei der Residuenberechnungen fehlt fast immer der lim davor. Ansonsten stimmen Deine Residuen
"Wir wissen:" Beim Residuensatz werden die Umlaufzahlen mit den Residuen multipliziert und dann addiert. Die Umlaufzahlen kannst Du erst kennen, wenn Du Dich für eine Kurve entscheidest. Die Kurve kommt aber erst später ins Spiel.
Und warum sollte für das reelle Integral in b) 0 rauskommen? Ich sehe keinen Grund.
  ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

Hab oben nochmal editiert, meine Residuen stimmten nicht, aber Deine.
Das Integral aus b) scheint 2*pi*i zu sein, falls a>0 und -2*pi*i, falls a<0.
(Nochmal editiert, unpassende Idee entfernt)
  ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

So, jetzt hab ich's. Unsere Herleitung gilt nur für den Fall a>0, weil nur dann die Kurve um alle drei Singularitäten läuft. In diesem Fall ist:
\(\int_C = 2\pi\,i\) Residuensatz. Also ist \(2\pi\,i= -\int \tan (-ai+t)\,dt\). Damit haben wir
\(\int \tan (bi+t)\, dt = -2\pi\,i\), falls b<0 (denn dann setzen wir a=-b>0).
Im Fall a<0 muss man ne andere Kurve nehmen, oder den Fall auf den anderen zurückführen. Da fehlt mir noch ne elegante Idee, sorry. Es gibt vielleicht auch eine Kurve, mit der man beide Fälle zusammen erledigen kann, hab aber noch keine gefunden bei der man wenig rechnen muss.
  ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

Erstmal danke für die ganze Hilfe. Mein Prof hat gemeint der ansatz ist definitiv richtig aber die terme sollen sich nur um eine konstante unterscheiden und das meintest du doch am Anfang auch oder?
  ─   felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her

Welche Terme meint er/Du denn?   ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her

naja wir haben ja irgnen term mit tangens und der unterscheidet sich nur um ne konstante von dem term angegeben in der b)   ─   felixwaldherr420 1 Monat, 3 Wochen her

Naja, da ist nur das Vorzeichen nicht identisch. Nach meiner Rechnung sind die Integrale aus a) und b) gleich. Der Fall a>0 ist erledigt. Das ist mein Stand jetzt. Fehlt noch der Fall a<0.
  ─   mikn 1 Monat, 3 Wochen her
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