Weißt Du, wie man lineare Unabhängigkeit mit Determinanten testet?  Das könnte hier helfen.

a) Unter der Voraussetzung, dass \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) linear unabhängig sind (ich habe es nicht geprüft), musst Du nur ein \(w\) finden, so dass die fünf Vektoren linear unabhängig sind.  Schau Dir mal die letzten Komponenten an, dann ist es sehr leicht.

b) Ich nehme an \(L\) soll die lineare Hülle oder das Erzeugnis bedeuten.  Um eine Basis dieses zweidimensioneln Untervektorraums \(V\) zu bestimmen, wähle einen Vektor in \(V\) aus (explizit mit Koordinaten), der nicht Null ist und suche durch probieren einen weiteren Vektor in \(V\), so dass die zwei Vektoren linear unabhängig sind.

c),d) Mit Determinanten jeweils hinreichende und notwendige Bedingungen an \(\alpha\) formulieren und dann diejenigen \(\alpha\) finden, die die Bedingungen erfüllen.