Zeigen Sie, dass die Funktionsfolge nicht gleichmäßig konvergiert.

Aufrufe: 523     Aktiv: 06.01.2021 um 18:37
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Hallo ,

in meiner Aufgabenstellung muss ich zeigen, dass eine Funktionsfolge nicht gleichmäßig konvergiert. Ich bin mir nicht sicher ob mein Ansatz richtig ist und wie ich weiter vorgehen soll. Ich würde mich freuen wenn mir Jemand weiter helfen könnte.

fn(x) = 1/(1+x^2n)

So wie ich es verstanden habe, muss man zeigen  |fn(x) - f (x)|>=  Epsilon.

Die Grenzfunktion ist nach meiner Rechnung: f(x)= 1/2 (für x=1), 1 (für |x|<1), 0 (für |x|>1)

Ich weiß nicht ob das so richtig ist oder ob ich das als eine  einzige Funktionsgleichung bestimmen muss? 

Müsste ich dann die Aussage 3 mal für die verschiedenen Definitionsbereiche beweisen? 

 

 

 

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Wenn keine Anforderung an den Beweis vorgegeben ist, würde ich es mir relativ einfach machen:
Es gilt ja allgemein: \(f_n\) stetig, \(f_n\to f\) gleichmäßig \(\Longrightarrow\) \(f\) stetig.

Du hast \(f\) berechnet und es ist offensichtlich nicht stetig. Die \(f_n\) sind aber alle stetig, also kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein (nur punktweise).

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Vielen Dank für Ihre Antwort !
Ich bin leider noch nicht so weit in der Vorlesung.   ─   smila 06.01.2021 um 17:02
wir haben mit dem Thema Stetigkeit noch nicht angefangen. Im Skript ist das schon angeführt. Ich denke, dass ich den Beweis mit Epsilon liefern muss.   ─   smila 06.01.2021 um 17:16
Vielen lieben Dank ! Ich habe das jetzt verstanden.   ─   smila 06.01.2021 um 18:33

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