E-Funktionsschar

Erste Frage Aufrufe: 170     Aktiv: 04.11.2021 um 16:33

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Guten Tag, ich bräuchte mal Hilfe:
Gegeben ist: fa(x)= e^2x-a*e^x   Und  a > 0 
Frage: Welche Scharkurve schneidet die y- Achse bei y = -2?

und: allgemeine Extrema der Funktion und die Ortskurve der Extrema.

Ich bin irgendwie total durch und weiß nicht wie ich vorgehen soll, vielen Dank für die Hilfen/ Rechenwege.

 

LG

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Hallo,

was bedeutet es denn, wenn eine Funktion die $y$-Achse bei $-2$ schneidet? Welchem Punkt entspricht das?

Wie berechnet man denn die Extrema einer "normalen" (nicht Schar-)Funktion?

Grüße Christian
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Naja y = -2, ich stehe bei der Aufgabe fällig auf dem Schlauch.

Extrema erste Ableitung = 0 setzen
Und dann in die 2. Ableitung für HP o. TP

  ─   userc47f2e 03.11.2021 um 13:11

Ja es heißt $y=-2$, aber diese Gleichung muss nicht für den Schnittpunkt mit der y-Achse gelten.
Zu einem Punkt gehören ja immer x- und y-Koordinate.
Wir haben $y=-2$, aber was ist unser $x$-Wert?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 13:24

Den muss man berechnen, aber wie?.. Und a > 0 heißt dann man kann einfach 1 einsetzen? Mein Gott stell ich mich blöd an.   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 13:32

Nicht verzweifeln :) Mathematik lebt davon sich durchzubeißen. Nur durch viele Erfahrung (sowohl positiver als auch negativer) wird man besser und findet sich schneller zurecht.

Guck dir mal das Koordinatensystem an. Wir haben eine y-Achse und eine x-Achse. Wenn wir irgendeinen Punkt auf der y-Achse betrachten, welchem Wert auf der x-Achse entspricht das?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 13:39

x = 0   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 13:51

yes genau das. Also haben wir den Punkt $P(0|-2)$ gegeben. Dieser soll nun auf unserer Funktion liegen. Wir suchen also das $a$, sodass dieser Punkt auf unserer Funktion liegt.
Nun gut, wie kann man einen Punkt denn in eine Funktionsgleichung einsetzen?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 13:57

also geben wir 0 für x ein und müssen uns an die -2 antasten?   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:13

$x=0$ ist schon mal sehr gut.
Wenn wir eine Funktionsgleichung betrachten, dann haben wir einen "Stellvertreter" für die y-Koordinate. Wir haben also einen Wert, für den wir $-2$ einsetzen können.
Überlege dir dafür mal folgendes: Du willst den Graphen einer Funktion skizzieren. Du setzt erst $x=0$ ein und erhälst einen Funktionswert, dann setzt du $x=1$ ein und erhälst einen Funktionswert usw. Jedes dieser Ergebnisse liefert dir einen Punkt, denn du in ein Koordinatensystem zeichnen kannst. Verbindest du diese Punkte grob miteinander, erhälst du eine Skizze deines Graphens.
Wie zeichnest du den zugehörigen Funktionswert ein?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:23

ich brauch noch den y Wert um die Funktion zu zeichnen, aber in dem Fall gebe ich doch nicht etwa -2 für a ein, oder? Macht für mich keinen Sinn, a soll ja > 0 sein. a ist ja unsere unbekannte, oder macht das in diesen Fall keinen Sinn? Dieses a verwirrt mich auch unglaublich.   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:27

Vergiss das a mal komplett für einen Moment. Das a müssen wir später noch ausrechnen.

Wir müssen jetzt erstmal wissen, welcher Teil unserer Funktionsgleichung für unsere y-Koordinate steht.
Machen wir es mal anders. Wie sieht die Funktionsgleichung einer Geraden aus?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:34

f(x)= mx+b oder nicht ?   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:36

Ja genau. Wenn wir jetzt eine Gerade betrachten, beispielsweise
$$ f(x) = 2x $$
Dann erhalten wir für $x=0$, den Wert $0$, für den Wert $x=1$, den Funktionswert $2$ usw.
Wenn du die Gerade jetzt zeichnen wollen würdest, wie würdest du diese Punkte in ein Koordinatensystem eintragen?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:37

Die Werte auf der x- Achse eintragen, da fehlt aber noch der Wert für die y- Achse   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:39

Welche Werte würdest du auf der x-Achse eintragen?   ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:42

gott, bin ich blöd, na 0,1..usw und die Werte die raus kommen auf der y
es ist ja y=mx+b
  ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:43

Ach quatsch du bist doch drauf gekommen. Wie gesagt es ist unglaublich wichtig vieles (auch falsches durchzudenken), damit man versteht, was diese ganzen Zusammenhänge wirklich bedeuten ;)
Also sehr gut. Unser Funktionswert $f(x)$ steht also für unseren $y$-Wert. Wenn wir nun wissen, dass $y=-2$ ist, wo setzen wir dann in der ursprünglichen Funktion $-2$ ein?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:47

Wäre doch -2 = e^2x-a*e^x und dann auflösen? Oder für x? Aber das eher nicht.. und für e^x sowieso nicht   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:49

Wir wissen ja, welchen Wert $x$ annehmen soll. Welcher war das nochmal?   ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:51

x=0   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:51

yes! Also welche Gleichung muss gelöst werden?   ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:52

e^2*0-a*e^0   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:53

Genau so ist es. Was ist denn $e^{2\cdot0}$ und $e^0$?   ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:53

Ah und das ist keine Gleichung
$$ e^{2\cdot 0} - a \cdot e^0 = \ldots $$
Was haben wir vorhin herausgefunden kommt bei $\ldots $ hin?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:54

1   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:54

-2   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:54

also e^2*0-a*e^0=-2   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:55

Genau und ich nehme an, dein erster Kommentar bezieht sich auf meine erste Frage, also $e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1 $.
Nun gut, setzen wir auch das ein, erhalten wir
$$ -2 = 1 -a \cdot 1 $$
also
$$ -2 = 1-a$$
Also ist $a=?$
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 14:57

-2= 1-a l -1
-3=-a
  ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:58

OH YES wenn wir das ausrechnen haben wir -2   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 14:59

:D genau!!! $a= 3$. Also die Funktion
$$f_{3}(x)= e^{2x} - 3 \cdot e^x $$
trifft die $y$-Achse bei $y=-2$.
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 15:00

Und das ist die Schar?   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 15:00

Und kann ich jetzt die Extrema der allgemeinen Funktion mit dem a=3 weiter rechnen?   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 15:02

Sorry hatte einen Tippfehler, $a=3$ und nicht $-3$.
Ein Schar ist eine "Sammlung" von Funktionen, Stell dir das vor wie ein Stickeralbum. Jetzt wolltest du aber den einen Sticker finden, der eine besondere Eigenschaft hat. Dieser einzelne Sticker ist dann keine ganze Sammlung mehr. Er ist dann "nur" eine Funktion und kein Funktionsschar.
Aber ja die Funktion $f_3(x)$ ist die gesuchte Funktion :)
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 15:03

Christian du bist mein Held! Vielen lieben Dank für deine super Hilfe!!!!   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 15:04

Für die weiteren Aufgaben brauchst du $a=3$ nicht.
Du sollst jetzt alle Extrema finden, in Abhängigkeit des Scharparameters ($a$).
Wir betrachten also wieder unsere komplette Sammlung von Funktionen
$$ f_a(x) = e^{2x} - a e^x $$
Du hast ja schon richtig gesagt, dass wir diese Funktion nun ableiten sollen. Wie sieht denn die Ableitung aus?
$$ f'_a(x) = \ldots $$
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 15:07

:D das freut mich sehr zu hören!
Mathe kann sehr viel Spaß machen, wenn man sich richtig reinfuchst. Wenn ich jemanden zeigen kann, dass dieses Fach kein Teufelswerk ist, dann macht mich das immer sehr glücklich :)
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 15:08

f`a(x)= 2*e^2x-a*e^x   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 15:08

Yes genau so ist es. Nun setzen wir die Funktion gleich Null.
$$ 2e^{2x} - a e^x = 0 $$
Das sieht jetzt erstmal sehr kompliziert aus. Es gibt aber 2 Möglichkeiten damit umzugehen. Dafür machen wir erstmal folgende Überlegung. Wie kann man $e^{2x} $ noch schreiben. Also in welchem Zusammenhang stehen $e^{2x}$ und $e^x$?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 15:10

1/e^2 ? oder was genau meinst du jetzt? Und beide e kann man wegstreichen oder nicht ?   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 15:12

Meinst du mit $\frac 1 {e^2}$, dass wir die ganze Gleichung durch $e^2$ teilen sollen?
Ich meinte aber was anderes. Ich glaube aber, dass du in die richtige Richtung denkst.
Wir können hier durch $e^x$ teilen. Man geht das aber bei so Gleichungen etwas anders an, dazu sage ich aber mehr, wenn wir die Vorgehensweise geklärt haben.
Wir teilen also die Gleichung durch $e^x$. Wie sieht die resultierende Gleichung dann aus?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 15:15

2-a= e^x?   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 15:16

Ne. Aber daran sehe ich, dass ein Zwischenschritt nicht ganz klar ist. Es gilt
$$ e^{2x} = e^{x+x} = e^x \cdot e^x = \left(e^x\right)^2 $$
Der Vorfaktor 2 steht also dafür, dass wir hier $e^x$ zum Quadrat haben.
Wenn du nun $ 2x^2 - a x $ durch $x$ teilen würdest, was würdest du erhalten?

Auf der anderen Seite der Gleichung ist dir auch ein kleiner Fehler passiert. Wir teilen Null durch $e^x$. Nun kann man sich die Division immer schön durch das Teilen von einem Kuchen vorstellen.
Wenn wir einen Kuchen haben und diesen durch 2 teilen, bekommt jeder eine Hälfte $\frac 1 2$. Wenn wir einen Kuchen durch 3 Teilen, bekommt jeder ein Drittel $\frac 1 3$...
Nun stell dir mal vor, wir haben keinen Kuchen (0). Diesen wollen wir nun durch 2 teilen. Wie viel Kuchen bekommt jeder? Wenn wir den durch 3 Teilen, wie viel bekommt jeder? Wenn wir keinen Kuchen haben und diesen mit egal wie vielen teilen, wie viel bekommt jeder?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 15:22

0   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 15:23

Ja genau. Wenn wir nichts haben, dann kann auch keiner was davon haben.
Also wenn wir Null durch irgendwas teilen, erhalten wir immer wieder Null. Wenn du also die ganze Gleichung durch $e^x$ teilst, dann ist $\frac 0 {e^x} = 0$.
Nun noch meine erste Frage. Was ist
$$ 2x^2 - ax = 0 $$
geteilt durch $x$?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 15:28

2x^2-a=1   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 15:28

Ne Was ist denn $x \cdot x$ durch $x$?

Ich muss mal eben weg. Melde mich nachher nochmal.
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 15:31

x*x/x = x? Ja alles klar, muss auch gleich los, schau aber zwischendurch mal rein! Vielen Dank   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 15:33

Ja genau. Also
$$ 2x^2 - ax = 0 $$
durch $x$ ist dann?

Was ist dann
$$ \frac {e^{2x}} {e^x} = \frac {\left(e^x\right)^2} {e^x} = ? $$
Sehr gerne ;)
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 16:56

2x-a=1? ohje   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 17:31

oder 2x-a=x   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 17:39

Was haben wir festgestellt, was passiert wenn wir Null durch irgendwas teilen?   ─   christian_strack 03.11.2021 um 17:42

0   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 17:47

Genau. Was erhalten wir also auf der rechten Seite von
$$ 2x^2 - ax = 0 $$
wenn wir die ganze Gleichung durch $x$ teilen?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 17:48

Ah, ja.. 0.. natürlich, entschuldige   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 18:02

Kein Problem :p
Ja genau. Also wir erhalten
$$ 2x - a = 0 $$
Nun können wir das mit all unserem Wissen auf unsere ursprüngliche Gleichung anwenden
$$ 2e^{2x} - a e^x = 0 $$
Was erhalten wir, wenn wir diese Gleichung durch $e^x$ teilen?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 18:07

Dort müssen wir doch den Logarythmus ziehen oder nicht ? Oder ist es wieder 0?   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 18:09

Ne wir machen exakt das gleiche wie wir vorhin mit dem $x$ gemacht haben. Nur das wir dieses mal überall dort wo ein $x$ stand ein $e^x$ haben. Du kannst also jeden Gedanken 1:1 übertragen   ─   christian_strack 03.11.2021 um 18:26

Der Logarithmus ist die Gegenoperation zum Potenzieren. Sowie die Subtraktion die Gegenoperation der Addition ist.
$$ \log_a(a^x) = x = a^{\log_a(x)}$$
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 18:27

also 2-a=0 l -2
-a=-2
  ─   userc47f2e 03.11.2021 um 18:27

Ne wir hatten ja vorhin
$$ 2x^2 - ax = 0 |\div x \Rightarrow 2x - a = 0 $$
Jetzt haben wir
$$ 2(e^x)^2 - ae^x =0 | \div e^x \Rightarrow \ldots $$
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 18:28

aber das ist doch nicht dann 2^2-a = 0
e^x ist doch geteilt auch 0
  ─   userc47f2e 03.11.2021 um 18:30

Ja ich meinte auch nicht die rechte Seite der Gleichung. Wir erhalten
$$ 2(e^x)^2 - ae^x =0 | \div e^x \Rightarrow 2e^x - a = 0 $$
Jetzt können wir nach $x$ umstellen.
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 18:32

+a dann 2e^x = a   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 18:34

Genau. Dann können wir noch durch 2 teilen.
$$ e^x = \frac a 2 $$
und jetzt kommen wir zu einem Gedanken, denn du heute schon mal hattest. Mit welcher Operation kommen wir an den Exponenten?
  ─   christian_strack 03.11.2021 um 19:09

Hey, entschuldige.. also ich würde sagen jetzt müssen wir Log. benutzen   ─   userc47f2e 03.11.2021 um 22:57

Genau so ist es, Und zwar den Logarithmus zur Basis $e$. Also der $\ln$.
Damit erhalten wir
$$ x= \ln\left( \frac a 2 \right) $$
  ─   christian_strack 04.11.2021 um 10:39

Nun kommen wir zur Ortskurve. Weißt du was das ist und wie wir diese finden?   ─   christian_strack 04.11.2021 um 10:43

Erste Ableitung = 0 setzen , bei der Kurve sieht man wie der TP, HP und Wendepunkt verbunden sind oder?   ─   userc47f2e 04.11.2021 um 13:21

Ja das ist schon mal sehr gut. Ja genau die Ortskurve ist selbst ein Graph, der alle Punkte einer besonderen Art (Extrema, Wendepunkte usw) eines Funktionenschars verbindet.
Wir wollen nun die Ortskurve bzgl. der Extrema finden. Also bestimmen wir zuerst die Extrema (bereits erledigt).
Als nächstes stellen wir die obige Gleichung nach dem Parameter um. Hatten wir hier im Verlauf auch schon mal bestimmt. Wie sieht die Gleichung aus?
Dann setzen wir diese Gleichung in unsere Funktionsgleichung für den Parameter ein. Wir erhalten eine Abbildung die keinen Parameter hat und nur noch von $x$ abhängt. Das ist dann unsere Ortskurve.
  ─   christian_strack 04.11.2021 um 13:25

2e^2x-a*e^x=0   ─   userc47f2e 04.11.2021 um 13:39

Ne beim bestimmen der Extrema hatten wir mal eine Gleichung nach $a$ umgestellt.   ─   christian_strack 04.11.2021 um 13:55

Achse, du meinst die e^2x-3*e^x ?   ─   userc47f2e 04.11.2021 um 13:56

Ne wenn wir eine Gleichung nach einen Wert umstellen, dann haben wir auf einer Seite der Gleichung den Wert nachdem wir umgestellt haben. Ich meine
$$ a = 2e^x $$
Diese Gleichung können wir nun in unsere Funktionsgleichung einsetzen.
  ─   christian_strack 04.11.2021 um 16:33

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