was bedeutet es denn, wenn eine Funktion die $y$-Achse bei $-2$ schneidet? Welchem Punkt entspricht das?
Wie berechnet man denn die Extrema einer "normalen" (nicht Schar-)Funktion?
Grüße Christian
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Zu einem Punkt gehören ja immer x- und y-Koordinate.
Wir haben $y=-2$, aber was ist unser $x$-Wert? ─ christian_strack 03.11.2021 um 13:24
Guck dir mal das Koordinatensystem an. Wir haben eine y-Achse und eine x-Achse. Wenn wir irgendeinen Punkt auf der y-Achse betrachten, welchem Wert auf der x-Achse entspricht das? ─ christian_strack 03.11.2021 um 13:39
Nun gut, wie kann man einen Punkt denn in eine Funktionsgleichung einsetzen? ─ christian_strack 03.11.2021 um 13:57
Wenn wir eine Funktionsgleichung betrachten, dann haben wir einen "Stellvertreter" für die y-Koordinate. Wir haben also einen Wert, für den wir $-2$ einsetzen können.
Überlege dir dafür mal folgendes: Du willst den Graphen einer Funktion skizzieren. Du setzt erst $x=0$ ein und erhälst einen Funktionswert, dann setzt du $x=1$ ein und erhälst einen Funktionswert usw. Jedes dieser Ergebnisse liefert dir einen Punkt, denn du in ein Koordinatensystem zeichnen kannst. Verbindest du diese Punkte grob miteinander, erhälst du eine Skizze deines Graphens.
Wie zeichnest du den zugehörigen Funktionswert ein? ─ christian_strack 03.11.2021 um 14:23
Wir müssen jetzt erstmal wissen, welcher Teil unserer Funktionsgleichung für unsere y-Koordinate steht.
Machen wir es mal anders. Wie sieht die Funktionsgleichung einer Geraden aus? ─ christian_strack 03.11.2021 um 14:34
$$ f(x) = 2x $$
Dann erhalten wir für $x=0$, den Wert $0$, für den Wert $x=1$, den Funktionswert $2$ usw.
Wenn du die Gerade jetzt zeichnen wollen würdest, wie würdest du diese Punkte in ein Koordinatensystem eintragen? ─ christian_strack 03.11.2021 um 14:37
es ist ja y=mx+b ─ userc47f2e 03.11.2021 um 14:43
Also sehr gut. Unser Funktionswert $f(x)$ steht also für unseren $y$-Wert. Wenn wir nun wissen, dass $y=-2$ ist, wo setzen wir dann in der ursprünglichen Funktion $-2$ ein? ─ christian_strack 03.11.2021 um 14:47
$$ e^{2\cdot 0} - a \cdot e^0 = \ldots $$
Was haben wir vorhin herausgefunden kommt bei $\ldots $ hin? ─ christian_strack 03.11.2021 um 14:54
Nun gut, setzen wir auch das ein, erhalten wir
$$ -2 = 1 -a \cdot 1 $$
also
$$ -2 = 1-a$$
Also ist $a=?$ ─ christian_strack 03.11.2021 um 14:57
-3=-a ─ userc47f2e 03.11.2021 um 14:58
$$f_{3}(x)= e^{2x} - 3 \cdot e^x $$
trifft die $y$-Achse bei $y=-2$. ─ christian_strack 03.11.2021 um 15:00
Ein Schar ist eine "Sammlung" von Funktionen, Stell dir das vor wie ein Stickeralbum. Jetzt wolltest du aber den einen Sticker finden, der eine besondere Eigenschaft hat. Dieser einzelne Sticker ist dann keine ganze Sammlung mehr. Er ist dann "nur" eine Funktion und kein Funktionsschar.
Aber ja die Funktion $f_3(x)$ ist die gesuchte Funktion :) ─ christian_strack 03.11.2021 um 15:03
Du sollst jetzt alle Extrema finden, in Abhängigkeit des Scharparameters ($a$).
Wir betrachten also wieder unsere komplette Sammlung von Funktionen
$$ f_a(x) = e^{2x} - a e^x $$
Du hast ja schon richtig gesagt, dass wir diese Funktion nun ableiten sollen. Wie sieht denn die Ableitung aus?
$$ f'_a(x) = \ldots $$ ─ christian_strack 03.11.2021 um 15:07
Mathe kann sehr viel Spaß machen, wenn man sich richtig reinfuchst. Wenn ich jemanden zeigen kann, dass dieses Fach kein Teufelswerk ist, dann macht mich das immer sehr glücklich :) ─ christian_strack 03.11.2021 um 15:08
$$ 2e^{2x} - a e^x = 0 $$
Das sieht jetzt erstmal sehr kompliziert aus. Es gibt aber 2 Möglichkeiten damit umzugehen. Dafür machen wir erstmal folgende Überlegung. Wie kann man $e^{2x} $ noch schreiben. Also in welchem Zusammenhang stehen $e^{2x}$ und $e^x$? ─ christian_strack 03.11.2021 um 15:10
Ich meinte aber was anderes. Ich glaube aber, dass du in die richtige Richtung denkst.
Wir können hier durch $e^x$ teilen. Man geht das aber bei so Gleichungen etwas anders an, dazu sage ich aber mehr, wenn wir die Vorgehensweise geklärt haben.
Wir teilen also die Gleichung durch $e^x$. Wie sieht die resultierende Gleichung dann aus? ─ christian_strack 03.11.2021 um 15:15
$$ e^{2x} = e^{x+x} = e^x \cdot e^x = \left(e^x\right)^2 $$
Der Vorfaktor 2 steht also dafür, dass wir hier $e^x$ zum Quadrat haben.
Wenn du nun $ 2x^2 - a x $ durch $x$ teilen würdest, was würdest du erhalten?
Auf der anderen Seite der Gleichung ist dir auch ein kleiner Fehler passiert. Wir teilen Null durch $e^x$. Nun kann man sich die Division immer schön durch das Teilen von einem Kuchen vorstellen.
Wenn wir einen Kuchen haben und diesen durch 2 teilen, bekommt jeder eine Hälfte $\frac 1 2$. Wenn wir einen Kuchen durch 3 Teilen, bekommt jeder ein Drittel $\frac 1 3$...
Nun stell dir mal vor, wir haben keinen Kuchen (0). Diesen wollen wir nun durch 2 teilen. Wie viel Kuchen bekommt jeder? Wenn wir den durch 3 Teilen, wie viel bekommt jeder? Wenn wir keinen Kuchen haben und diesen mit egal wie vielen teilen, wie viel bekommt jeder? ─ christian_strack 03.11.2021 um 15:22
Also wenn wir Null durch irgendwas teilen, erhalten wir immer wieder Null. Wenn du also die ganze Gleichung durch $e^x$ teilst, dann ist $\frac 0 {e^x} = 0$.
Nun noch meine erste Frage. Was ist
$$ 2x^2 - ax = 0 $$
geteilt durch $x$? ─ christian_strack 03.11.2021 um 15:28
Ich muss mal eben weg. Melde mich nachher nochmal. ─ christian_strack 03.11.2021 um 15:31
$$ 2x^2 - ax = 0 $$
durch $x$ ist dann?
Was ist dann
$$ \frac {e^{2x}} {e^x} = \frac {\left(e^x\right)^2} {e^x} = ? $$
Sehr gerne ;) ─ christian_strack 03.11.2021 um 16:56
$$ 2x^2 - ax = 0 $$
wenn wir die ganze Gleichung durch $x$ teilen? ─ christian_strack 03.11.2021 um 17:48
Ja genau. Also wir erhalten
$$ 2x - a = 0 $$
Nun können wir das mit all unserem Wissen auf unsere ursprüngliche Gleichung anwenden
$$ 2e^{2x} - a e^x = 0 $$
Was erhalten wir, wenn wir diese Gleichung durch $e^x$ teilen? ─ christian_strack 03.11.2021 um 18:07
$$ \log_a(a^x) = x = a^{\log_a(x)}$$ ─ christian_strack 03.11.2021 um 18:27
-a=-2 ─ userc47f2e 03.11.2021 um 18:27
$$ 2x^2 - ax = 0 |\div x \Rightarrow 2x - a = 0 $$
Jetzt haben wir
$$ 2(e^x)^2 - ae^x =0 | \div e^x \Rightarrow \ldots $$ ─ christian_strack 03.11.2021 um 18:28
e^x ist doch geteilt auch 0 ─ userc47f2e 03.11.2021 um 18:30
$$ 2(e^x)^2 - ae^x =0 | \div e^x \Rightarrow 2e^x - a = 0 $$
Jetzt können wir nach $x$ umstellen. ─ christian_strack 03.11.2021 um 18:32
$$ e^x = \frac a 2 $$
und jetzt kommen wir zu einem Gedanken, denn du heute schon mal hattest. Mit welcher Operation kommen wir an den Exponenten? ─ christian_strack 03.11.2021 um 19:09
Damit erhalten wir
$$ x= \ln\left( \frac a 2 \right) $$ ─ christian_strack 04.11.2021 um 10:39
Wir wollen nun die Ortskurve bzgl. der Extrema finden. Also bestimmen wir zuerst die Extrema (bereits erledigt).
Als nächstes stellen wir die obige Gleichung nach dem Parameter um. Hatten wir hier im Verlauf auch schon mal bestimmt. Wie sieht die Gleichung aus?
Dann setzen wir diese Gleichung in unsere Funktionsgleichung für den Parameter ein. Wir erhalten eine Abbildung die keinen Parameter hat und nur noch von $x$ abhängt. Das ist dann unsere Ortskurve. ─ christian_strack 04.11.2021 um 13:25
$$ a = 2e^x $$
Diese Gleichung können wir nun in unsere Funktionsgleichung einsetzen. ─ christian_strack 04.11.2021 um 16:33
Extrema erste Ableitung = 0 setzen
Und dann in die 2. Ableitung für HP o. TP
─ userc47f2e 03.11.2021 um 13:11