Konvergenz einer Folge feststellen

Aufrufe: 191     Aktiv: 24.07.2022 um 16:47

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Hallo zusammen,

ich habe die Folge bn = ((-1)^n/3n) gegeben und soll diese auf Konvergenz untersuchen. Ich hätte das nun mit dem Cauchy-Kriterium gemacht. Also, wenn es ein b in bn gibt, dann gibt es für alle N größer als N0 ein Epsilon, für das gilt, dass der Betrag von bn - b kleiner als Epsilon ist. 

Ich habe dann den Betrag von bn - b aufgeschrieben, da ich denke, dass b = 0 ist, steht dann nach Auflösen der Betragsstriche noch:

1/3n < 1/n < 1/N0 < Epsilon

Das gilt dann für N0 > 1/Epsilon

Stimmt meine Argumentation so?
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Ja, sehr gut! Musst du das mit Epsilontik machen? Ich glaube aber, das ist nicht das Cauchykriterium,  sondern du hast direkt Definition von Grenzwert nachgerechnet
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Student, Punkte: 9.54K

 

Oh ja entschuldige, ich habe es nicht mit Cauchy sondern mit der Definition des Grenzwertes gemacht. Wäre es auch möglich, es ohne Epsilontik zu zeigen?   ─   usera70f42 24.07.2022 um 15:44

Also in der Praxis man versucht als direkte Alternative zur Definition \(|a_n-a|\) mit einer Nullfolge zu majoranisieren. Hier geht das sehr leicht und hast du auch im Prinzip gemacht, nur es geht auch als Einzeiler. Ich würde nur das schreiben: \(|\frac{(-1)^n}{3n}|=\frac 1{3n}\leq \frac 1n \to 0\)   ─   mathejean 24.07.2022 um 15:51

Aber darf ich dann auch einfach den Betrag der Folge bilden, auch wenn ich nicht die Definition des Grenzwertes mit dem Epsilon-Kriterium anwende? Wie kann ich dann rechtfertigen, dass ich den Betrag bilde?   ─   usera70f42 24.07.2022 um 16:37

Allgemein versucht man \(|a_n-a|\leq b_n\) zu zeigen, wobei \((b_n)_n\) eine Nullfolge ist. Also existiert zu \(\varepsilon >0\) ein \(N \in \mathbb{N}\), so dass \(|b_n|<\varepsilon \) und damit auch \(|a_n-a|<\varepsilon \) für alle \(n\geq N\). Nur dieses ganze drumherum sparrt man sich, weil es ist ja immer das gleiche   ─   mathejean 24.07.2022 um 16:40

Ah okay, danke!   ─   usera70f42 24.07.2022 um 16:47

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