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also du würdest es also mit heine-borel versuchen?
─ karate 07.03.2021 um 14:52
Annahme: \(\forall \delta>0 \exists x\in X : \forall i \in I: K_\delta(x) \not \subset O_i\)
Sei also \(\delta >0\) beliebig aber fix. Laut Annahme existiert ein x in Abhängigkeit von \(\delta\) so dass
\(K_\delta(x) \not \subset O_i \forall i \in I\) Das heisst aber dass \(\exists y \in \mathbb{R}^d\) mit \(d(x,y)<\delta\) wobei \(y \not \in O_i \forall i \in I\). Daraus folgt nun dass \(y \not \in \bigcup_{i\in I} O_i \). Da nun \(O_i\) eine Überdeckung von X ist, würde das auch heissen, dass \(y \not \in X\).
Nun habe ich die Kompaktheit ("Folgenkompaktheit") aber noch gar nicht verwendet. Könntest du mir einen Tipp geben wo ich das hier ansetzen kann um den Wiederspruch zu erhalten? ─ karate 07.03.2021 um 16:01
Kurze Frage, ich habe es noch mit einem Kommilitonen angeschaut, er hat dabei einen anderen Weg gemacht wobei ich mir nicht ganz sicher bin ob das so möglich ist: (Nur in Worte) Er sagt, dass man eine endliche Überdeckung findet, da X kompakt ist. Gleichzeitig gilt dass jedes x in mindestens einer offenen Menge ist. Nun kann man von jedem x den kleinsten Kugelradius nehmen, so dass die Kugel um x mit diesem Radius in jeder Umgebung ist, in der auch unser x liegt. Mit all diesen Radien kann man eine Menge konstruieren, die wiederum ein Minimum hat welches ungleich 0 ist, das wäre dann unser Delta.
Irgendwie macht es schon Sinn aber irgendwie "stört" mich etwas daran. ─ karate 07.03.2021 um 17:14
Annahme ist gleich wie oben.
Nehmen wir uns nun \(\delta :=\frac {1}{n}, n\in \mathbb{N} \). Das bedeutet für jedes \(n\in \mathbb{N} \, \,\exists x\in X: \forall i\in I : K_{\frac{1}{n}}(x)=\{y\in \mathbb{R}^d: d(x,y)<\frac {1}{n}\} \not \subset O_i\)
Das heisst nun aber dass es ein \(y \in \mathbb{R}^d\) gibt mit \(d(x,y)<\frac{1}{n}\) aber \(y \not \in O_i, \forall i \in I\). Da \(X\) Folgenkompakt ist, gilt dass \(\forall x \in X \,\, \exists x^k\subset X: x^k \rightarrow x \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, d(x^k,x)\rightarrow_{k\rightarrow \infty}0 \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, d(x^k,x)<\frac{1}{k} \,\,für \,\, k\rightarrow \infty\).
Wenn wir nun aber das auf unsere Menge anwenden so merken wir, dass für ein wachsendes \(n\) gilt dass \(d(x,y)\rightarrow 0\) da \(\frac{1}{n}\rightarrow_{n\rightarrow \infty}0\). das würde dann aber heissen, dass unser y immer mehr Richtung x konvergiert. Da nun \(O_i\) eine offene Überdeckung ist, gilt dass \(X \subset \bigcup_{i\in I} O_i\). Für ein genug grosses \(n\) würde das nun aber wiederum heissen, dass \(\exists i \in I: y\in O_i\) was dann ein Widerspruch zur Annahme wäre.
Irgendwie denke ich aber dass das noch falsch ist.
─ karate 07.03.2021 um 19:11
also muss ich die Folge explizit definieren oder wie meinst du das? ─ karate 07.03.2021 um 19:41
okei also starten wir einen hoffentlich letzten Versuch:
Wie gesagt wir definieren unser \(\delta := \frac{1}{n}\). Laut Annahme gilt dass für jedes n ein \(x_n\) existiert mit \(K_\delta(x_n) \not \subset O_i, \forall i \in I\). Da die Folge \(x_n\) in \(X\) liegt und X folgenkompakt ist, gilt dass es eine konvergente Teilfolge \(x_{n_k} \in X\) gibt so dass diese gegen \(x\) konvergiert. Da nun \(O_i\) eine Überdeckung ist, heisst dass, dass \(X \subset \bigcup_{i\in I} O_i\) ist. dabei gilt dass für jedes \(i\) die Menge \(O_i\) offen ist. Dies würde dann aber bedeuten, dass sowohl \(x\) als auch die Teilmenge \(x_{n_k}\) in einer der offenen Mengen \(O_i\) liegen. Sprich für jedes \(k \in \mathbb{N}\) gibt es ein \(r>0\) so dass \(K_r(x_{n_k})\subset O_i\). Dies ist nun aber ein Widerspruch zur Annahme.
ist das so besser? ─ karate 07.03.2021 um 20:24
─ karate 07.03.2021 um 23:01
Aber muss ich für den Satz von Heine-Borel nicht auch wissen dass meine Überdeckung abgeschlossen ist oder liege ich hier falsch? denn wir haben diesen Satz erst am Freitag eingeführt und habe noch nicht wirklich den Durchblick über diesen? ─ karate 07.03.2021 um 12:40