Hallo Zusammen 

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei \(X \subset \mathbb{R}^d\) kompakt und \((O_i)_{i\in I}\) eine offene Überdeckung. Zeige dass ein \(\delta >0\) existiert so dass für jeden Punkt \(x\in X\) ein \(i \in I\) existiert, so dass \(K_\delta(x) \subset O_i\).



Ich habe mir mal alle Eigenschaften notiert, doch irgendwie weiss ich nicht wie sie zusammenzusetzen. also bis jetzt habe ich folgendes

Sei \(x \in X\) beliebig.

• Da \((O_i)_{i\in I}\) eine offene Überdeckung ist gilt, dass  \(X \subset\) \(\bigcup\)\(O_i\) \(\Leftrightarrow \forall x\in X \nobreakspace\exists i\in I: x\in O_i\)
• Da \(\forall i\in I\), \(O_i\) offen ist, gilt dass \(\forall x \in O_i \exists r>0: K_{r}(x)\subset O_i\)
  • das heisst für unser \(x\in X \exists r_x>0: K_{r_x}(x)\subset O_i\) 
• Da \(X\subset \mathbb{R}^d\) kompakt ist gilt dass \(\exists x^k\subset X\) so dass \(x^k\rightarrow x \Leftrightarrow \forall \epsilon>0 \exists k_0: \forall k>k_0: d(x^k,x)<\epsilon\)

Nun fehlt mir aber die Idee das zusammenzusetzen. Denn man muss ja ein allgemeines \(\delta\) finden. Also von Punkt 1 kann ich ja schliessen dass jedes X in mindestens einer Teilmenge der Überdeckung liegt. Punkt 2 sagt mir ja, dass ich für mein x eine Kugel finde so dass diese Kugel auch wieder in der selben Teilmenge der Überdeckung liegt, hier ist aber das Problem, dass diese Kugel im Allgemeinen auch das Komplement von X schneiden könnte. So wie ich das sehe muss genau das gezeigt werden, dass dies in unserem Fall nicht geht. Dafür dachte ich könnte der 3. Punkt nützlich sein, doch irgendwie sehe ich nicht wiso.

Könnte mir jemand helfen?

Vielen Dank