Question

Wie beweise ich diese Aussage über eine offene Überdeckung?

Aufrufe: 1140 Aktiv: 07.03.2021 um 23:01

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Hallo Zusammen

Ich habe folgende Aufgabe:

Sei \(X \subset \mathbb{R}^d\) kompakt und \((O_i)_{i\in I}\) eine offene Überdeckung. Zeige dass ein \(\delta >0\) existiert so dass für jeden Punkt \(x\in X\) ein \(i \in I\) existiert, so dass \(K_\delta(x) \subset O_i\).

Ich habe mir mal alle Eigenschaften notiert, doch irgendwie weiss ich nicht wie sie zusammenzusetzen. also bis jetzt habe ich folgendes

Sei \(x \in X\) beliebig.

Da \((O_i)_{i\in I}\) eine offene Überdeckung ist gilt, dass \(X \subset\) \(\bigcup\)\(O_i\) \(\Leftrightarrow \forall x\in X \nobreakspace\exists i\in I: x\in O_i\)
Da \(\forall i\in I\), \(O_i\) offen ist, gilt dass \(\forall x \in O_i \exists r>0: K_{r}(x)\subset O_i\)
- das heisst für unser \(x\in X \exists r_x>0: K_{r_x}(x)\subset O_i\)
Da \(X\subset \mathbb{R}^d\) kompakt ist gilt dass \(\exists x^k\subset X\) so dass \(x^k\rightarrow x \Leftrightarrow \forall \epsilon>0 \exists k_0: \forall k>k_0: d(x^k,x)<\epsilon\)

Nun fehlt mir aber die Idee das zusammenzusetzen. Denn man muss ja ein allgemeines \(\delta\) finden. Also von Punkt 1 kann ich ja schliessen dass jedes X in mindestens einer Teilmenge der Überdeckung liegt. Punkt 2 sagt mir ja, dass ich für mein x eine Kugel finde so dass diese Kugel auch wieder in der selben Teilmenge der Überdeckung liegt, hier ist aber das Problem, dass diese Kugel im Allgemeinen auch das Komplement von X schneiden könnte. So wie ich das sehe muss genau das gezeigt werden, dass dies in unserem Fall nicht geht. Dafür dachte ich könnte der 3. Punkt nützlich sein, doch irgendwie sehe ich nicht wiso.

Könnte mir jemand helfen?

Vielen Dank

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gefragt 07.03.2021 um 12:03

karate
Student, Punkte: 1.95K

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1 Antwort

mikn · Accepted Answer · 2021-03-07T12:33:31Z

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Es ist richtig, dass Du ein allgemeines \(\delta\) finden musst. Ich würde aber im 3. Punkt nicht mit Folgen arbeiten, sondern mit der Charakterisierung von kompakten Mengen über endliche Teilüberdeckungen. Das ist je nach dem Vorgehen in Deiner Lehrveranstaltung die Def. von "kompakt" oder der Satz von Heine-Borel.

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geantwortet 07.03.2021 um 12:33

mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.86K

Okei, aber der Rest geht also mal so in Ordnung dass ich dann das Ganze noch zusammensetzen muss?
Aber muss ich für den Satz von Heine-Borel nicht auch wissen dass meine Überdeckung abgeschlossen ist oder liege ich hier falsch? denn wir haben diesen Satz erst am Freitag eingeführt und habe noch nicht wirklich den Durchblick über diesen? ─ karate 07.03.2021 um 12:40

Also bei uns lautet der satz wie folgt \(\forall\) Familie \((E_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}\) mit \(E_\lambda\) abgeschlossen und so dass \(E \cap E_{\lambda_1}\cap ... \cap E_{\lambda_N} \neq \emptyset\) \(\forall \lambda_1,...\lambda_N \in \Lambda \) gilt dass \(E \cap (\cap E_\lambda ) \neq \emptyset \) wobei der Zweite durchschnitt über alle \(\lambda \in \Lambda\) geht. ─ karate 07.03.2021 um 13:50

hmm okei im skript steht es wirklich so wie ich es hier notiert habe komisch.
also du würdest es also mit heine-borel versuchen?
─ karate 07.03.2021 um 14:52

Ja das ist das wie wir bis jetzt HB definiert haben. okei dann versuche ich das mal ─ karate 07.03.2021 um 14:57

wäre es okei wenn ich einen möglichen Ansatz bzw. Lösungsvorschlag nochmals hier posten könnte? ─ karate 07.03.2021 um 15:09

ja schon ein paar. ─ karate 07.03.2021 um 15:28

Also ich melde mich nochmals, irgendwie fehlt mir eine Überlegung um den Widerspruch zu kreieren, ich habe folgendes:

Annahme: \(\forall \delta>0 \exists x\in X : \forall i \in I: K_\delta(x) \not \subset O_i\)
Sei also \(\delta >0\) beliebig aber fix. Laut Annahme existiert ein x in Abhängigkeit von \(\delta\) so dass
\(K_\delta(x) \not \subset O_i \forall i \in I\) Das heisst aber dass \(\exists y \in \mathbb{R}^d\) mit \(d(x,y)<\delta\) wobei \(y \not \in O_i \forall i \in I\). Daraus folgt nun dass \(y \not \in \bigcup_{i\in I} O_i \). Da nun \(O_i\) eine Überdeckung von X ist, würde das auch heissen, dass \(y \not \in X\).

Nun habe ich die Kompaktheit ("Folgenkompaktheit") aber noch gar nicht verwendet. Könntest du mir einen Tipp geben wo ich das hier ansetzen kann um den Wiederspruch zu erhalten? ─ karate 07.03.2021 um 16:01

Okei ich versuche es mal.

Kurze Frage, ich habe es noch mit einem Kommilitonen angeschaut, er hat dabei einen anderen Weg gemacht wobei ich mir nicht ganz sicher bin ob das so möglich ist: (Nur in Worte) Er sagt, dass man eine endliche Überdeckung findet, da X kompakt ist. Gleichzeitig gilt dass jedes x in mindestens einer offenen Menge ist. Nun kann man von jedem x den kleinsten Kugelradius nehmen, so dass die Kugel um x mit diesem Radius in jeder Umgebung ist, in der auch unser x liegt. Mit all diesen Radien kann man eine Menge konstruieren, die wiederum ein Minimum hat welches ungleich 0 ist, das wäre dann unser Delta.

Irgendwie macht es schon Sinn aber irgendwie "stört" mich etwas daran. ─ karate 07.03.2021 um 17:14

ah okei aber das wäre so auch gültig? Denn wenn man sich das so vorstellt ist das schon viel klarer als unser Weg, meine Bedenken waren einfach, dass man das zwar verbal sehr verständlich notieren kann jedoch mathematisch denke isch ist es nicht so einfach oder täusche ich mich? Sorry wenn ich so hin und her springe aber ich finde es noch gut zwei Möglichkeiten zu kennen. Trotzdem habe ich wirklich gemerkt, dass der Widerspruchsbeweis gar nicht so einfach ist. ─ karate 07.03.2021 um 17:22

okei vielen Dank dann versuche ich nun man den Wiederspruchs beweis und schaue wie weit ich komme ─ karate 07.03.2021 um 17:36

Okei also ich muss gestehen diese Aufgabe bringt mich leicht zur Verzweiflung, da ich viel zu viel Zeit investiert habe und irgendwie immer noch nicht erkenne wo dieser Widerspruch steckt. Ich habe folgendes

Annahme ist gleich wie oben.
Nehmen wir uns nun \(\delta :=\frac {1}{n}, n\in \mathbb{N} \). Das bedeutet für jedes \(n\in \mathbb{N} \, \,\exists x\in X: \forall i\in I : K_{\frac{1}{n}}(x)=\{y\in \mathbb{R}^d: d(x,y)<\frac {1}{n}\} \not \subset O_i\)
Das heisst nun aber dass es ein \(y \in \mathbb{R}^d\) gibt mit \(d(x,y)<\frac{1}{n}\) aber \(y \not \in O_i, \forall i \in I\). Da \(X\) Folgenkompakt ist, gilt dass \(\forall x \in X \,\, \exists x^k\subset X: x^k \rightarrow x \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, d(x^k,x)\rightarrow_{k\rightarrow \infty}0 \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, d(x^k,x)<\frac{1}{k} \,\,für \,\, k\rightarrow \infty\).
Wenn wir nun aber das auf unsere Menge anwenden so merken wir, dass für ein wachsendes \(n\) gilt dass \(d(x,y)\rightarrow 0\) da \(\frac{1}{n}\rightarrow_{n\rightarrow \infty}0\). das würde dann aber heissen, dass unser y immer mehr Richtung x konvergiert. Da nun \(O_i\) eine offene Überdeckung ist, gilt dass \(X \subset \bigcup_{i\in I} O_i\). Für ein genug grosses \(n\) würde das nun aber wiederum heissen, dass \(\exists i \in I: y\in O_i\) was dann ein Widerspruch zur Annahme wäre.

Irgendwie denke ich aber dass das noch falsch ist.

Okei also ich muss gestehen diese Aufgabe bringt mich leicht zur Verzweiflung, da ich viel zu viel Zeit investiert habe und irgendwie immer noch nicht erkenne wo dieser Widerspruch steckt. Ich habe folgendes

Annahme ist gleich wie oben.
Nehmen wir uns nun \(\delta :=\frac {1}{n}, n\in \mathbb{N} \). Das bedeutet für jedes \(n\in \mathbb{N} \, \,\exists x\in X: \forall i\in I : K_{\frac{1}{n}}(x)=\{y\in \mathbb{R}^d: d(x,y)<\frac {1}{n}\} \not \subset O_i\)
Das heisst nun aber dass es ein \(y \in \mathbb{R}^d\) gibt mit \(d(x,y)<\frac{1}{n}\) aber \(y \not \in O_i, \forall i \in I\). Da \(X\) Folgenkompakt ist, gilt dass \(\forall x \in X \,\, \exists x^k\subset X: x^k \rightarrow x \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, d(x^k,x)\rightarrow_{k\rightarrow \infty}0 \,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, d(x^k,x)<\frac{1}{k} \,\,für \,\, k\rightarrow \infty\). 
Wenn wir nun aber das auf unsere Menge anwenden so merken wir, dass für ein wachsendes \(n\) gilt dass \(d(x,y)\rightarrow 0\) da \(\frac{1}{n}\rightarrow_{n\rightarrow \infty}0\). das würde dann aber heissen, dass unser y immer mehr Richtung x konvergiert. Da nun \(O_i\) eine offene Überdeckung ist, gilt dass \(X \subset \bigcup_{i\in I} O_i\). Für ein genug grosses \(n\) würde das nun aber wiederum heissen, dass \(\exists i \in I: y\in O_i\) was dann ein Widerspruch zur Annahme wäre.

Irgendwie denke ich aber dass das noch falsch ist.

─ karate 07.03.2021 um 19:11

sorry irgendwie sehe ich bei dieser Aufgabe einfach keinen roten Faden, ich sehe rein gar nichts mehr und habe auch zugleich die Motivation verloren diese Aufgabe zu lösen. Ich versuche es trotzdem noch, da ich sie gerne einfach abschliessen würde. doch irgendwie kann ich mich nicht auf das wesentliche fokussieren, bin ziemlich enttäuscht was ich heute liefere und ich glaube es wird nicht besser.
also muss ich die Folge explizit definieren oder wie meinst du das? ─ karate 07.03.2021 um 19:41

ja natürlich verstehe ich das wenn du nicht noch die andere Version betrachten möchtest, bin dir nur schon extrem dankbar, dass du dir so viel Zeit für eine Version nimmst!!

okei also starten wir einen hoffentlich letzten Versuch:

Wie gesagt wir definieren unser \(\delta := \frac{1}{n}\). Laut Annahme gilt dass für jedes n ein \(x_n\) existiert mit \(K_\delta(x_n) \not \subset O_i, \forall i \in I\). Da die Folge \(x_n\) in \(X\) liegt und X folgenkompakt ist, gilt dass es eine konvergente Teilfolge \(x_{n_k} \in X\) gibt so dass diese gegen \(x\) konvergiert. Da nun \(O_i\) eine Überdeckung ist, heisst dass, dass \(X \subset \bigcup_{i\in I} O_i\) ist. dabei gilt dass für jedes \(i\) die Menge \(O_i\) offen ist. Dies würde dann aber bedeuten, dass sowohl \(x\) als auch die Teilmenge \(x_{n_k}\) in einer der offenen Mengen \(O_i\) liegen. Sprich für jedes \(k \in \mathbb{N}\) gibt es ein \(r>0\) so dass \(K_r(x_{n_k})\subset O_i\). Dies ist nun aber ein Widerspruch zur Annahme.

ist das so besser?

ja natürlich verstehe ich das wenn du nicht noch die andere Version betrachten möchtest, bin dir nur schon extrem dankbar, dass du dir so viel Zeit für eine Version nimmst!!

okei also starten wir einen hoffentlich letzten Versuch:

Wie gesagt wir definieren unser \(\delta := \frac{1}{n}\). Laut Annahme gilt dass für jedes n ein \(x_n\) existiert mit \(K_\delta(x_n) \not \subset O_i, \forall i \in I\). Da die Folge \(x_n\) in \(X\) liegt und X folgenkompakt ist, gilt dass es eine konvergente Teilfolge \(x_{n_k} \in X\) gibt so dass diese gegen \(x\) konvergiert. Da nun \(O_i\) eine Überdeckung ist, heisst dass, dass \(X \subset \bigcup_{i\in I} O_i\) ist. dabei gilt dass für jedes \(i\) die Menge \(O_i\) offen ist. Dies würde dann aber bedeuten, dass sowohl \(x\) als auch die Teilmenge \(x_{n_k}\) in einer der offenen Mengen \(O_i\) liegen. Sprich für jedes \(k \in \mathbb{N}\) gibt es ein \(r>0\) so dass \(K_r(x_{n_k})\subset O_i\). Dies ist nun aber ein Widerspruch zur Annahme.

ist das so besser?

─ karate 07.03.2021 um 20:24

ah okei ja auf das am Schluss wäre ich nun leider wirklich nicht mehr gekommen. Vielen Dank
─ karate 07.03.2021 um 23:01

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.