Ungleichung Term umstellen

Aufrufe: 113     Aktiv: 30.07.2022 um 21:02

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Hi,

ich habe folgende Lösung zu einer Aufgabe, jedoch verstehe ich nicht so ganz wie man dort hingekommen ist (da ich diese z.B. via Fallunterscheidung gelöst hatte):

\[\frac{x-1}{x+1} \lt 1\ \ ( x \neq -1) \Leftrightarrow \frac{(x+1)-2}{x+1} \lt 1 \Leftrightarrow 1 -  \frac{2}{x+1} \lt 1 \Leftrightarrow - \frac{2}{x+1} \lt 0 \Leftrightarrow x+1 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt -1\]

Hier kann ich noch nicht nachvollziehen was für Termumformungen zwischen den einzelnen Rechenschritten passiert sind.
Eine weitere Frage ist dann, wieso \(L=(-1; \infty)\) gilt. Ich hätte dieses von -1 bis 1 gebildet (wegen \(\lt 1\) im ersten Term.

EDIT vom 29.07.2022 um 18:05:

Ergänzung:
Hier auch meine Lösung:
\[\frac{x-1}{x+1} \lt 1 \]

1. Fall: \(x + 1 \gt 0\)
\[\Leftrightarrow x - 1 \lt 1 \Leftrightarrow x \lt 2\]
2. Fall: \(x + 1\lt 0\)
\[\Leftrightarrow x - 1 \gt 1 \Leftrightarrow x \gt 2\]

Im ersten Fall ist die Lösung nur gültig in dem Bereich \((-1 ; 2)\) und im zweiten Fall widerspricht die Lösung der Bedingung.
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Welchen der Schritte genau verstehst Du denn nicht?

Der Standardweg wäre mit Fallunterscheidung. Der hier eingeschlagene geht nicht immer.
Mit Fallunterscheidung sollte natürlich am Ende das gleiche Ergebnis erzielt werden. Lade mal Deinen Weg hoch, da scheint dann was schief gegangen zu sein.
Generell: Es wäre gut, wenn Du nicht mehr als EINE Frage gleichzeitig zum gleichen Umfeld stehst. Wenn Du Deine vorige Frage geklärt hättest, würde diese hier vermutlich gar nicht aufkommen.

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Lehrer/Professor, Punkte: 26.65K

 

Die Umformungen um eine Ungleichung zu lösen sind die gleichen wie bei einer Gleichung. Man muss nur darauf achten, dass beim Multiplizieren einer Ungleichung (d.h. beider Seiten der Ungl) mit einer negativen Zahl sich das Ungleichzeichen umdreht. Dazu macht man ja die Fallunterscheidung. Versuch damit nochmal.   ─   mikn 29.07.2022 um 18:11

Ok. Habe meine Lösung auch mal hochgeladen. Die Schritte welche ich nicht verstehe ist: Was ist von Schritt 1 zu Schritt 2 \(\frac{(x+1)-2}{x+1} \lt 1\) passiert? Woher kommt dort aufeinmal die +2 und wieso ist nun im Zähler ein x+1? Danach nehme ich an, wurde 1 subtrahiert. Um daraufhin von \(- \frac{2}{x+1} \lt 0\) auf \(x+1 \gt 0\) zu gelangen ist mir auch noch ein Rätsel, wobei mir das irgendwie einfacher aussieht als der erste zum zweiten Schritt.   ─   shadow 29.07.2022 um 18:14

Meine Antwort gelesen?   ─   cauchy 29.07.2022 um 18:17

Gerade gelesen. Wirklich weiterhelfen tut es mir nicht. Im ersten Fall und im zweiten Fall unterscheidet sich ja das Ungleichzeichen.   ─   shadow 29.07.2022 um 18:22

Zu deiner Lösung hab ich schon was gesagt. Zum anderen siehe cauchy. Die Bruchrechenregeln ändern sich nicht, wenn irgendwo ein Ungleichzeichen steht.   ─   mikn 29.07.2022 um 18:31

Ok, nach einer kurzen Pause habe ich denke ich nen Fehler gefunden. Irgendwie habe ich das ganze nur auf einer Seite von der Ungleichung mutliplziert. :O Für den ersten Fall müsste es \(x-1 \lt x+1 \Leftrightarrow -1 \lt 1\) und für den zweiten Fall \(x-1 \gt x+1 \Leftrightarrow -1 \gt 1\).   ─   shadow 29.07.2022 um 20:34

Gut, aber was ist nun die Lösungsmenge?   ─   mikn 29.07.2022 um 20:47

Angesichts der Tatsache das am Ende kein x mehr übrig bleibt, ist dies eine gute Frage. Das Ergebnis vom 2. Fall ergibt schon mal wenig Sinn \(-1 \gt 1\). Somit bleibt nur noch der erste Fall übrig. Wie man jtzt aus dem Ergebnis ohne x unter der Bedingung \(x \gt -1\) die Lösungsmenge bestimmen soll, weiß ich aber auch nicht.   ─   shadow 29.07.2022 um 20:55

Dann mach Dir klar, was Du gezeigt hast. Das Muster ist: Wenn (Fall einsetzen), dann ist Beh. $\iff 1>-1$ (im ersten Fall). Überleg (sehr gründlich) was Du daraus schließen kannst: für welche $x$ ist dann die Beh. wahr?   ─   mikn 29.07.2022 um 21:09

Wenn \(x \gt -1\), dann ist Beh. \(\Leftrightarrow 1 \gt -1\). Also müsste das bedeuten, dass solange \(x \gt -1\) ist, \(1 \gt -1 \) gültig und damit müsste die Lösungsmenge größer als -1 sein, also \((-1, \infty)\).   ─   shadow 30.07.2022 um 11:20

Richtig. Das ist die Teillösungsmenge aus dem ersten Fall. Was ist mit dem zweiten?   ─   mikn 30.07.2022 um 11:50

Ich hätte ja gesagt, beim zweiten gibt es keine Lösung, da \(-1 \gt 1\) keinen Sinn ergibt. Ansonsten: Wenn \(x \lt -1\) ist, dann gilt \(-1 \gt 1\). Somit ist die Lösung für diesen Term: \((-\infty;-1)\). Die Gesamtlösung müsste dann die Vereinigung beider Teillösungen sein.   ─   shadow 30.07.2022 um 12:05

Nichts mit "hätte... keinen Sinn". Bleib im Schema wie im ersten Fall. Nicht abweichen.   ─   mikn 30.07.2022 um 12:37

Wenn \(x\lt−1\) ist, dann gilt \(−1\gt 1\). Somit ist die Lösung für diesen Term: \((−\infty;−1)\). Somit ist die Gesamtlösung: \(L=(-1,\infty) \cup (−\infty;−1)\).   ─   shadow 30.07.2022 um 12:44

Ich hatte Dir oben das Muster vorgegeben und Du hast das für den 1. Fall perfekt umgesetzt. Warum klappt das jetzt nicht?   ─   mikn 30.07.2022 um 12:51

Idk. Also beim 1. Fall habe ich das Muster genommen und dann bin ich folgendermaßen vorgegangen:
1. Fall: \( x \gt -1 \) : Für alle x größer -1 = \((-1; \infty)\).
2. Fall: \( x \lt -1\) : Für alle x kleiner -1 = \((-\infty;-1)\)
Man kann jtzt sagen, da sind nirgends \(1 \gt -1\) oder \( -1 \gt 1 \) zu erkennen, sondern ausschließlich die Beh. vom Fall. Aber andererseits ist diese ja zum Ergebnis Äquivalent und diese kann ich in ein Intervall umformen.
Würde ich stattdessen das Ergebnis nehmen, ließe sich daraus ja kein Intervall bauen. \(1 \gt -1\)ist nunmal \(1 \gt -1\). Wobei mir \( -1 \gt 1 \) immernoch sehr komisch vorkommt, da eigentlich erst -1 und dann die 1 auf der Zahlengerade kommt.
  ─   shadow 30.07.2022 um 13:20

Nein. Das ist auch im 1. Fall nicht das Muster. Du suchst anscheinend eine Abkürzung? Das scheitert. Schau in das Muster, auch in Deine Umsetzung (die steht vor meinem Kommentar mit "Richtig."). Bleibe Wort für Wort im Muster.   ─   mikn 30.07.2022 um 13:32

Wenn \(x \gt -1\), dann ist Beh. \(\iff 1 \gt -1\). Hier weiß ich ja, dass es \((-1, \infty) \) ist.
Wenn \(x \lt -1\), dann ist Beh. \(\iff -1 \gt 1\). Für welche \(x\) ist dann die Beh. wahr? Hier würde ich sagen, für kein \(x\) ist die Beh. war, weil \(-1 \lt 1\) ist und eigentlich nie \(-1 \gt 1\).

Aber wirklich etwas erkennen um daraus ein Intervall abzuleiten tue ich nicht. Es ist ja nur das x im Wenn-Fall vorhanden und das Ergebnis von Fall 1 ist eher eine allgemeine Aussage und das von Fall 2 .. na ja. Selbst wenn man hier sagt, \(-523\) oder \(-0,965\) ist dies am Ende immer noch kleiner als \(1\) und nicht größer.
Im ersten Fall kann man aber auch sagen, \(1 \gt -1\) gilt für alle x, da in diesem Falle ja kein x mehr im Ergebnis steht, dieses also unabhängig von x ist.
  ─   shadow 30.07.2022 um 15:11

Aha, geht doch. Also $L_1=(-1,\infty)$. Und im 2. Fall: Richtig, es ist für kein $x$ wahr. Also $L_2=?$. Insgesamt: $L=L_1\cup L_2=?$.   ─   mikn 30.07.2022 um 15:33

Dann noch eine Frage: Ist \(L_2=?\) und \(L=?\) das selbe als wenn man schreibt: \(L=\emptyset\) ? Da ich habe zumindest noch nie \(L=?\) gesehen.   ─   shadow 30.07.2022 um 15:42

$L_i$ ist die Lösungsmenge aus Fall $i $ (hier gibt's nur zwei Fälle, aber ist nicht generell so).
Also nochmal: Was ist $L_2$ und was ist $L$? Einfach beantworten.
  ─   mikn 30.07.2022 um 15:53

\(L_2\) ist die Lösungsmenge aus dem zweiten Fall und \(L\) die Lösungsmenge der gesamten Aufgabe. Aber worrauf ich hinaus wollte: \(L = L_1 \cup L_2 = ? = \emptyset\) und \(L_1 = (-1, \infty)\) und \(L_2 = ? = \emptyset\). Also ob das \(?\) gleichbedeutend mit \(\emptyset\) ist.   ─   shadow 30.07.2022 um 16:18

Das ist jetzt mein letzter Versuch: Ergänze folgendes: $L_2=....$ und $L=...$.   ─   mikn 30.07.2022 um 16:22

\(L_1=(-1,\infty)\) sowie \(L_2=\emptyset\) und damit \(L=L_1 \cup L_2 = (-1,\infty)\).   ─   shadow 30.07.2022 um 20:46

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Gut. Richtig. Nun präg Dir das Muster ein, jedes Wort davon. Alle Ungleichungen mit Fallunterscheidungen (auch die ohne Beträge) sind so zu lösen.   ─   mikn 30.07.2022 um 21:02

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Vergiss den Lösungsweg, sondern rechne selbst.

Hier wird lediglich ein Trick benutzt, wo der Zähler umgeschrieben wird. Dass sie gleich sind, solltest du schnell sehen können. Dann wird der Bruch getrennt und gekürzt. 

Das $x<1$ steht nirgends, auch nicht in der ersten Ungleichung! Da steht etwas völlig anderes und wurde so umgeformt, dass man eben auf $x>-1$ kommt.
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Selbstständig, Punkte: 23.75K

 

Habe meine eigene Rechnung auch mal ergänzt. Würde aber auch gerne verstehen was dort für ein Trick in der Rechnung benutzt wird um den Zähler umzuschreiben. Da sehen, dass diese gleich sind tue ich gerade nicht.   ─   shadow 29.07.2022 um 18:24

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Dann rechne mal vom zweiten Term zum ersten Term. Du musst da nur den Zähler zusammenfassen.   ─   cauchy 29.07.2022 um 18:57

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