Die Arcus Funktionen sind einfach nur die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen.

Wenn du also eine Gleichung hast wie

\(\sin(x)=0.5\)

Dann hebst du beim Auflösen den Sinus auf, indem auf beide Seiten den \(\arcsin(x)\) anwendest.

\(\arcsin(\sin(x))=\arcsin(0.5)\)

\(x=\arcsin(0.5)\approx 0.52\)

Das sind einfach nur die Umkehrfunktionen. Aus der Schule sind dir da die Schreibweisen

\(\sin^{-1}(x)\)

wahrscheinlich eher geläufig, die bedeuten aber das gleiche. (Ob es da bezüglich der genauen mathematischen Definition unterschiede gibt weiß ich nicht, da ist mir nichts bekannt)

Das steht wahrscheinlich so auf dem Taschenrechner weils kürzer ist. Selbst wolframalpha zeigt es mit \(\sin^{-1}\) an, wie man das hinschreibt ist eher Geschmackssache.

Bezüglich deiner Frage zu den Winkeln kann ich nur spekulieren was ihr da genau gemacht habt, aber ich schätze mal ihr habt aus der Steigung \(m\) einer Funktion den Steigungswinkel \(\alpha\) berechnet?

Du kannst aus der Ableitung den Steigungswinkel über die Formel

\(\alpha=\tan^{-1}(m)=\arctan(m)\)

berechnen. Das kannst du dir überlegen, indem du mal das Steigungsdreieck an die Sekante malst un dann mit den trigonomentrischen Beziehungen den Winkel ausrechnest.