Hallo, ich hoffe ihr könnt mir bei diesen 2 Aufgaben helfen:
1. Aufgabe
Sei X eine diskrete Zufallsvariable auf Ω = {0,1,2,3} mit $$p_k = P(X = k)$$
Gegeben durch:
$$p_0 = \frac{2\theta }{3}, p_1 = \frac{\theta }{3}, p_2 = \frac{2(1-\theta)}{3}, p_3 = \frac{1- \theta }{3}$$ (Für die Aufgabe glaub ich gar nicht wichtig)
Wobei $$\theta \in [0,1]$$ ein Parameter der Verteilung ist.
Gegeben sei folgende Stichprobe: 3, 2, 1, 0, 2

Schätzen Sie den Parameter θ mit der Methode der Momente.
Hinweis: Der Erwartungswert ist: E(X) = 3/7 + θ²
Hier habe ich einen Ansatz, weiß aber nicht, ob der richtig ist:

Als erstes habe ich das theoretische Moment (=Erwartungswert?) nach θ umgestellt: $$\theta = \sqrt{E(X) - \frac{3}{7} }$$
Dann muss ja das empirische Gegenstück dazu bestimmen werden, also das artihmethische Mittel? (Ist das immer das arithmeischt mittel??)
Dann zum Schluss habe ich das Theoretische Moment durch das emprische Moment ersetzt: $$\theta = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i - \frac{3}{7} }$$
Wenn ich dann die Stichprobe von oben einsetzt erhalte ich für
θ = 1,082.
Ist das richtig?

2. Aufgabe
Die Zufallsvariable X sei exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Das heißt, X besitzt eine Dichte der Form: $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\
         0, & sonst\end{array}\right. .$$
Wobei λ > 0 der Parameter der Verteilung ist.
Gehen Sie davon aus, dass {x_1, ... x_10} = {0.01, 0.53, 0.06, 0.12, 0.52, 0.13, 0.04, 0.19, 0.08, 0.32} eine konkrete Stichprobe ist.
Schätzen Sie den Parameter λ anhand der Stichprobe mit der Maximum Likelihood-Methode und geben Sie λ an.

Hier habe ich leider noch keinen Ansatz.

Würde mich wirklich freuen, wenn mir jemand bei den beiden Aufgaben helfen könnte! :) Und sry, für das unschöne LaTeX... Habs nicht anders hinbekommen.