K kompakt <=> K beschränkt und abgeschlossen

Aufrufe: 900     Aktiv: 24.06.2020 um 13:02

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Hallo, habe eine kurze Frage bezüglich einer Aussage:

Sei (E,||.||) normierter VR und A c E: A kompakt <=> A beschränkt und abgeschlossen (Satz von Heine-Borel):

Ich habe jetzt schon gelesen, dass der Satz von Heine-Borel nur in bestimmten normierten VR gilt, jedoch habe ich zwei unterschiedliche Aussagen dazu gesehen:

1. Der Satz von Heine-Borel stimmt nur wenn dimE < unendlich

2. Der Satz von Heine-Borel stimmt nur wenn E = R^n

Welche Aussage stimmt denn?. Eine Erklärung dazu wäre nett.

Danke im Vorhinein! ;)

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Student B.A, Punkte: 1.47K

 
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Stimmt in gewissem Sinne beides. Der Satz gilt nur in endlich-dim. VRen. Jeder endl.-dim. VR ist aber isomorph zu R^n, also gewissermaßen gibt es an endl.-dim. VRen nur den R^n (Sprechweise: "bis auf Isomorphie"). Es gibt natürlich versch. Normen zu solchen Räumen, aber die sind ja in endl.-dim. VRen auch alle äquivalent, so dass was in dem einen beschränkt ist, im anderen auch beschränkt ist.

Bem.: Über dem Körper C geht's natürlich genauso, dann eben C^n usw.

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Alles klar, danke. Das hat sehr geholfen!   ─   kallemann 24.06.2020 um 13:02

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