Injektivität und Surjektivität von Abbildungen / Verknüfung

Erste Frage Aufrufe: 120     Aktiv: 25.10.2021 um 19:48

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X, Y, Z sind Mengen
Abbildungen: f: X --> Y und g: Y --> Z
Verknüfung: g ◦ f: X --> Z

(a) Sind f und g injektiv, so ist g f injektiv .
(b) Sind f und g surjektiv, so ist g f surjektiv .
(c)  Sind g f injektiv, so ist f injektiv
(d)  Sind g f surjektiv, so ist g surjektiv

Ich sitzte jetzt seit ca. 2 Stunden an dieser Aufgabe, bekomme aber keinen Ansatz. Könnte vllt. jemand helfen?
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1 Antwort
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Hallo,

wenn du schon so lange daran sitzt, dann teile uns doch mal deine Gedanken mit. Was hast du probiert? Was bedeutet injektiv und surjektiv? Hast du Beispielfunktionen für Injektivität/Surjektivität bzw. nicht Injektivität/Surjektivität? Hast du Vermutungen?

Grüße Christian
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Hallo.
Also grundsätzlich bedeutet ja die Injektivität, dass man jedem Argument genau einen Funktionswert zuordnen kann im jeweiligen Zahlenbereich. Und Surjektivität, dass jedem Funktionwert aus dem Zielbereich mindestens ein Argument zugeordnet werden kann.

Beispiel wäre für Injektivität zum Beispiel f(x) = 2 + 4n f: N --> N

  ─   user2ca816 25.10.2021 um 12:19

Nicht ganz. Das man jedem Argument genau einen Funktionswert zuordnet ist die Definition einer Funktion.
Injektivität bedeutet, dass zwei ungleiche Elemente aus dem Definitionsbereich niemals auf den gleichen Funktionswert abgebildet werden. Also
$$ f(x_1) =f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 $$
Surjektivität stimmt. Es wird jedes Element des Zielbereichs angenommen.

Was wir hier schon mal sehen, ist das Injektivität stark mit dem Definitionsbereich zusammenhängt und Surjektivität stark mit dem Zielbereich.

Wir können eine nicht injektive und nicht surjektive Funktion nehmen und den Definitionsbereich so einschränken, dass diese injektiv wird und den Zielbereich so einschränken, dass diese surjektiv wird (ich finde das immer sehr hilfreich im Hinterkopf zu behalten).
Das werden wir auch später nutzen um es uns etwas einfacher zu machen.

Kennst du eine schön einfache Funktion aus der Schulzeit, die mit den reellen Zahlen als Definitions und Wertebereich weder injektiv noch surjektiv ist?
  ─   christian_strack 25.10.2021 um 12:45

Ah okay danke schonmal dafür...

Ich würde jetzt mal sagen f(x) = x^2 -3x + 2
Sicher bin ich mir aber selbst dort auch gerade nicht
  ─   user2ca816 25.10.2021 um 12:56

ja sehr gut, aber machen wir es uns noch einfach
$$ \begin{array}{c} f: \mathbb R \to \mathbb R \\ x \mapsto x^2 \end{array} $$
Also die Normalparabel ist weder injektiv noch surjektiv.
Wie könnten wir denn den Definitionsbereich einschränken, damit die Funktion injektiv wird?
Wie könnten wir denn den Wertebereich einschränken, damit die Funktion surjektiv wird?

Das hat nicht 100%ig was mit der Aufgabe zu tun, aber ich finde das sehr wichtig, dass zu verinnerlichen. Dann wird das händeln mit der Injektivität und Surjektivität viel einfacher :)
  ─   christian_strack 25.10.2021 um 12:58

Naja damit die Funktion injektiv ist, müssten wir den Definitionsbereich so einschränken, dass nur die positive x-Achse benutzt wird. (inkl. der 0)

Für die Surjektivität dürfte dementsprechend nur der postive Wertebereich genutzt werden. Auch inkl. der 0
  ─   user2ca816 25.10.2021 um 13:06

Ja genau die Funktion
$$ \begin{array}{c} f:\mathbb R_0 \to \mathbb R_0 \\ x \mapsto x^2 \end{array} $$
ist bijektiv.

Nun gut, wollen wir uns nochmal deiner Aufgabe widmen.

1) Versuchen wir das doch mal mit Worten uns vor Augen zu führen.
Die Funktion f bildet niemals zwei unterschiedliche Argumente auf den selben Funktionswert ab. Außerdem bildet g niemals zwei unterschiedliche Argumente auf den selben Funktionswert ab. Kann die Verkettung dieser Funktionen dann jemals zwei Argumente auf den selben Funktionswert abbilden?
  ─   christian_strack 25.10.2021 um 13:27

Naja ich würde jetzt sagen, dass es nicht so ist, aber ich könnte das jetzt nicht begründen wieso...   ─   user2ca816 25.10.2021 um 13:54

Wir nehmen also an, dass die Verkettung dies nicht tut. Also müssen wir beweisen, dass $g\circ f$ injektiv ist.
Injektivität zu beweisen ist meistens gar nicht so kompliziert. Um zu zeigen, dass eine Funktion $h(x)$ injektiv ist, beginnt man immer bei $h(x_1) = h(x_2)$ und versucht durch Umformungen bei $x_1 = x_2$ herauszukommen.
Nun ist unsere Funktion $g(f(x))$. Also
$$ \begin{array}{cc} & g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \\ \Rightarrow & \ldots \end{array} $$
Wie könnte man hier fortfahren? Was wissen wir über g und f?
  ─   christian_strack 25.10.2021 um 14:03

Bekannt ist, dass Funktion f X auf Y abbildet und Funktion g Y auf Z abbildet
Und veknüft dementsprend alles
  ─   user2ca816 25.10.2021 um 14:12

@christian: Tschuldige die Einmischung, aber ganz oben in der Def. von injektiv ist die Folgerung falsch herum. Oder man schreibt beide Male =.   ─   mikn 25.10.2021 um 14:25

Oh ja absolut richtig, Danke fürs drüber gucken :)   ─   christian_strack 25.10.2021 um 14:50

Ja schon, aber nach Voraussetzung sind diese ja auch injektiv.
Nun ist ja f injektiv. Was können wir also als nächstes schließen?
  ─   christian_strack 25.10.2021 um 14:51

Ich hätte jetzt gesagt, dass g auch injektiv ist   ─   user2ca816 25.10.2021 um 15:32

Ja das wissen wir beides. Das ist die Voraussetzung, dass f und g injektiv sind.
Jetzt sind wir an dem Punkt, dass wir $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ betrachten.
Schreibt dir einmal auf, was es bedeutet, dass f injektiv ist.
  ─   christian_strack 25.10.2021 um 15:50

Sorry aber ich weiß jetzt nicht mehr worauf du hinaus möchtest ;(   ─   user2ca816 25.10.2021 um 17:42

Injektivität bedeutet ja, dass aus $h(x_1) = h(x_2)$ folgt das $x_1 = x_2$.
Nun wissen wir ja, dass g injektiv ist. Das bedeutet aus $g(x_1) = g(x_2)$ folgt $x_2=x_1$.
Jetzt haben wir ja sowas in der Art dort stehen
$$ g(f(x_1)) = g(f(x_2)) $$
Daraus folgt aufgrund der Injektivität von $g$, dass
$$ f(x_1) = f(x_2) $$
Was können wir dann aus der Injektivität von $f$ folgern?
  ─   christian_strack 25.10.2021 um 19:48

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