Mit Vollständige Induktion Beweisen

Aufrufe: 112     Aktiv: 16.01.2024 um 23:54

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Guten Tag, das ist die Aufgabe:

Das ist was ich gerechnet habe. Ist das richtig gezeigt worden das die Ungleichung für alle n >= 1 die Ungleichung an >= 2 gilt?

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Student, Punkte: 628

 

Ich verstehe nicht ich muss a_n+1 > 2 beweisen ich hab nur a_n+1> 0 bewiesen.   ─   ceko 16.01.2024 um 19:20
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Das ist alles unsorgfältig.
In a) soll $a_1$ berechnet werden. Mach das.
In b) ist die Beh. $a_n\ge 2$ für alle $n$. Und nichts anderes.
Ind. Anf.: weise die Beh. für $n=1$ nach (mach nichts anderes).
Ind. Vor.: Gelte $a_n\ge 2$ für ein $n\in N$.
Ind. Beh.: $a_{n+1}\ge 2$.
Ind. Schluss: ...
Obiges ist ein generelles Muster für Induktion. Halte Dich in jedem(!) Detail daran, lass nichts weg.
Für den Ind.Schluss benutze Worte zur Erklärung. Beachte, dass Du evtl $a_n\ge 0$ brauchst, was nicht gegeben ist.
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.49K

 

woran leite ich das ab das $a_n >= 0$ ist?   ─   ceko 16.01.2024 um 23:01

Ich würde das mit einer separaten Induktion nachweisen. Ist sehr einfach und für Dich gut geeignet, das obige Muster einzuüben.   ─   mikn 16.01.2024 um 23:08

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Moin,

ich würde noch zur Antwort von mikn hinzufügen, dass der Induktionsschluss (zumindest für mich) nicht offensichtlich ist. Es kann helfen, das Verhalten der Funktion $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x+\frac{1}{x}$$zu betrachten. Insbesondere ist $f>2$  für $x>1$.
LG
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Student, Punkte: 3.78K

 

$f(x)>2$ bitte. Ja, aber diesem "mit analytischen Mitteln schnell zeigen" ist der Frager ja mit seinem Ansatz auf der Spur, daher hab ich dazu nichts gesagt und wollte ihn erstmal machen lassen.   ─   mikn 16.01.2024 um 23:41

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