Hallo! Ich benötige keine Lösung, sondern Hilfe beim Verständnis.

Bei der Aufgabe "Auf wie viele Arten können 3 Amerikaner, 4 Franzosen, 4 Deutsche und 2 Italiener auf einer Bank platz nehmen, so dass Personen gleicher Nationalität beisammensitzen?" muss ich die Anordnungen der einzelnen Personen und dann der Nationen untereinander berechnen. Alles jeweils mit Fakultäten, das ist klar. Um das Endergebnis zu bekommen, muss ich diese dann miteinander multiplizieren, also:

\( 3! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 4! = 165.888 \)

Warum muss/darf ich das multiplizieren? Gibt es dazu ein/e Gesetz/Regel, wo das expliziert formuliert ist?

Anderes Beispiel: "Eine aus 20 Männern und 5 Damen bestehende Abteilung soll in 2 Unterabteilungen, eine mit 12 Männern und 3 Damen, und eine mit 8 Männern und 2 Damen geteilt werden. Auf wie viele verschiedene Arten ist dies möglich?"

Lösung: \( {20 \choose 12} \cdot {5 \choose 3}  = 1.259.700 \)

Einzelrechnungen sind klar, aber auch hier werden die "Zwischenrechnungen" miteinander multipliziert. Wieso darf/muss man das machen?

Grüße!