Analysis mit exp(cos(x))

Aufrufe: 43     Aktiv: 29.05.2021 um 16:46

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Sei f : R → R definiert durch f(x) = exp(cos(x)) für alle x ∈ R. Bestimmen Sie möglichst große Intervalle, auf denen f streng monoton wachsend ist, beziehungsweise streng monoton fallend ist. Bestimmen Sie die lokalen Extrema von f. Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass cos|[kπ,(k+1)π] injektiv ist für alle k ∈ Z. (Hierbei ist π = 3, 14... ist die sogenannte Kreiszahl.) Die Intervallränder sind genau die Nullstellen des Sinus und cos(kπ) = n 1, falls k gerade −1, falls k ungerade .
Ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter. Kann mir vielleicht jemande helfen?
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1 Antwort
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Da \(x\mapsto e^x\) streng monoton steigt, ist das Steigungsverhalten von \(f\) genau das gleiche wie das von \(g:\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto\cos x\).. Die Bereiche, in denen der Cosinus streng monoton ist, sind dir ja schon gegeben (eine stetige Funktion ist genau dann injektiv, wenn sie streng monoton ist), jetzt musst du nur noch herausfinden, in welchen von diesen Intervallen der Cosinus steigt und in welchen er fällt. Verwende dazu die gegebenen Werte des Cosinus und unterscheide nach der Parität von \(k\).
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