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Hallo user4de1bb,
anscheinend verfolgst du den Ansatz, dass zwei Mengen schon dann gleich sind, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Das ist sinnvoll und zielführend.
Um die Gleichheit zwischen $A\cap M$ und $A$ zeigen zu können, genügt es also zu zeigen, dass für alle mathematischen Objekte $x$ gilt: $x\in A\cap M\iff x\in A$. Hier hattest du zwei Schreibfehler drin: Es geht um $A\cap M$ und nicht um $A\cap B$ und bei Aussagen spricht man nicht von Gleichheit $=$, sondern von Äquivalenz $\iff$, wenn aus der Gültigkeit von je einer der beiden Aussagen auch die Gültigkeit der anderen Aussage folgt.
Dir fehlt nun noch eine Begründung für $(x\in A\wedge x\in M) \iff x\in A$.
Standardmethode zum Zeigen einer Äquivalenz ist der Nachweis beider "Richtungen" separat.
Begründe also nacheinander:
1. Aus $x\in A\wedge x\in M$ folgt $x\in A$.
2. Aus $x\in A$ folgt $x\in A\wedge x\in M$.
Der schwierigste Part dabei ist der Nachweis bei 2., dass aus $x\in A$ auch $x\in M$ folgt.
Überlege dazu, wie $A$ und $M$ laut Aufgabenstellung zusammenhängen.
Noch ein Tipp: Formuliere Beweise am besten in ganzen deutschen Sätzen.
Kommst du mit meinen Hinweisen weiter?
Viele Grüße
Tobias
anscheinend verfolgst du den Ansatz, dass zwei Mengen schon dann gleich sind, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Das ist sinnvoll und zielführend.
Um die Gleichheit zwischen $A\cap M$ und $A$ zeigen zu können, genügt es also zu zeigen, dass für alle mathematischen Objekte $x$ gilt: $x\in A\cap M\iff x\in A$. Hier hattest du zwei Schreibfehler drin: Es geht um $A\cap M$ und nicht um $A\cap B$ und bei Aussagen spricht man nicht von Gleichheit $=$, sondern von Äquivalenz $\iff$, wenn aus der Gültigkeit von je einer der beiden Aussagen auch die Gültigkeit der anderen Aussage folgt.
Dir fehlt nun noch eine Begründung für $(x\in A\wedge x\in M) \iff x\in A$.
Standardmethode zum Zeigen einer Äquivalenz ist der Nachweis beider "Richtungen" separat.
Begründe also nacheinander:
1. Aus $x\in A\wedge x\in M$ folgt $x\in A$.
2. Aus $x\in A$ folgt $x\in A\wedge x\in M$.
Der schwierigste Part dabei ist der Nachweis bei 2., dass aus $x\in A$ auch $x\in M$ folgt.
Überlege dazu, wie $A$ und $M$ laut Aufgabenstellung zusammenhängen.
Noch ein Tipp: Formuliere Beweise am besten in ganzen deutschen Sätzen.
Kommst du mit meinen Hinweisen weiter?
Viele Grüße
Tobias
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tobit
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 285
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Hi Tobias, erstmal vielen Dank für Deine Antowort. Dein Kommentar hat mir schonmal geholfen, nur hinke ich bei den mathematisches Beweisen generell etwas hinterher. Ich schaue morgen nochmal in meine Unterlagen aber ich wüsste nicht wie ich den nächsten Schritt für die 1. These angehen soll.
─
user4de1bb
27.10.2024 um 21:59
Zum Nachweis von 1.: Die Idee ist, wenn man sie verstanden hat, gar nicht kompliziert: Wenn $x\in A$ und gleichzeitig irgendetwas anderes (hier $x\in M$) gilt, dann gilt "natürlich" insbesondere $x\in A$.
Wenn man das streng formal kleinschrittig beweisen will, muss man wissen, wie man eine Implikation (=Folgerung=wenn-dann-Ausssage) der Form $D\Rightarrow E$ mit Aussagen $D$ und $E$ zeigt: Man nimmt $D$ an und zeigt unter dieser Voraussetzung $E$.
Hier ist $D=(x\in A\wedge x\in M)$ und $E=(x\in A)$.
Wir nehmen also $x\in A\wedge x\in M$ als gegeben an und müssen unter dieser Voraussetzung $x\in A$ zeigen.
Nun muss man wissen, was einem eine Voraussetzung der Form $F\wedge G$ mit Aussagen $F$ und $G$ bringt: Aus $F\wedge G$ (gesprochen: $F$ und $G$) können wir nach Belieben $F$ folgern oder auch $G$ folgern (klar, wenn $F$ UND $G$ gilt, dann gelten sowohl $F$ als auch $G$)..
In unserem Fall mit $F=(x\in A)$ und $G=(x\in M)$ können wir also aus der Voraussetzung $x\in A\wedge x\in M$ direkt auf $x\in A$ schließen.
Sind diese Gedankengänge für dich nachvollziehbar?
Für 2. muss man noch wissen, wie man eine Aussage der Form $F\wedge G$ typischerweise zeigt: Man zeigt einfach nacheinander einzeln die Aussagen $F$ und $G$.
(Leider werden diese grundlegenden Schlussregeln zum Nachweis und Ausnutzen bestimmter Aussagen selten explizit gelehrt, daher vermute ich, dass du sie nicht explizit in deinen Unterlagen finden wirst. Die Hoffnung hinter dieser Lehrstrategie ist wohl, dass die Studierenden die Verwendung dieser grundlegenden Schlussregeln an Beispielen aus der Vorlesung lernen.) ─ tobit 28.10.2024 um 08:06
Wenn man das streng formal kleinschrittig beweisen will, muss man wissen, wie man eine Implikation (=Folgerung=wenn-dann-Ausssage) der Form $D\Rightarrow E$ mit Aussagen $D$ und $E$ zeigt: Man nimmt $D$ an und zeigt unter dieser Voraussetzung $E$.
Hier ist $D=(x\in A\wedge x\in M)$ und $E=(x\in A)$.
Wir nehmen also $x\in A\wedge x\in M$ als gegeben an und müssen unter dieser Voraussetzung $x\in A$ zeigen.
Nun muss man wissen, was einem eine Voraussetzung der Form $F\wedge G$ mit Aussagen $F$ und $G$ bringt: Aus $F\wedge G$ (gesprochen: $F$ und $G$) können wir nach Belieben $F$ folgern oder auch $G$ folgern (klar, wenn $F$ UND $G$ gilt, dann gelten sowohl $F$ als auch $G$)..
In unserem Fall mit $F=(x\in A)$ und $G=(x\in M)$ können wir also aus der Voraussetzung $x\in A\wedge x\in M$ direkt auf $x\in A$ schließen.
Sind diese Gedankengänge für dich nachvollziehbar?
Für 2. muss man noch wissen, wie man eine Aussage der Form $F\wedge G$ typischerweise zeigt: Man zeigt einfach nacheinander einzeln die Aussagen $F$ und $G$.
(Leider werden diese grundlegenden Schlussregeln zum Nachweis und Ausnutzen bestimmter Aussagen selten explizit gelehrt, daher vermute ich, dass du sie nicht explizit in deinen Unterlagen finden wirst. Die Hoffnung hinter dieser Lehrstrategie ist wohl, dass die Studierenden die Verwendung dieser grundlegenden Schlussregeln an Beispielen aus der Vorlesung lernen.) ─ tobit 28.10.2024 um 08:06
Hey tut mir leid, ich bin erst seit drei Wochen an der Uni und für mich sind Beweise neuland, ich weiß nicht wie aufwendig dieser Beweis ist, aber vielleicht könntest du mir den einmal vorrechnen, damit ich mal sehe wie sowas aussieht... ich habe dann noch zich andere Beweise die ich selber durchgehen kann. Lösung dazu gibt es von meiner Uni leider erst in zwei Wochen
─
user4de1bb
28.10.2024 um 14:04
Ich nehme an, in eurer Vorlesung hast du schon einige Beweise gesehen. Wenn ich jetzt noch einen Beweis mehr ausformuliere, befürchte ich, dass ich damit kaum weiterhelfe.
Um gezielt weiterhelfen zu können, brauche ich möglichst detaillierte Infos von dir, was du verstehst und was nicht.
Nehmen wir z.B. meine Formulierung
"Zum Nachweis von 1.: Die Idee ist, wenn man sie verstanden hat, gar nicht kompliziert: Wenn $x\in A$ und gleichzeitig irgendetwas anderes (hier $x\in M$) gilt, dann gilt "natürlich" insbesondere $x\in A$."
Klingt meine Formulierung "Wenn $x\in A$ und gleichzeitig irgendetwas anderes (hier $x\in M$) gilt, dann gilt "natürlich" insbesondere $x\in A$." für dich trivial oder kompliziert. nachvollziehbar oder nicht nachvollziehbar?
Ist dir klar, dass damit im Grunde schon eine Begründung für 1. erbracht ist, oder siehst du den Zusammenhang nicht?
Zu 2., also zum Nachweis der Aussage "Wenn $x\in A$ gilt, dann gilt $x\in A$ und $x\in M$":
Wenn $x\in A$ gilt, gilt dann $x\in A$?
Wenn $x\in A$ gilt, gilt dann $x\in M$? (Hier benötigst du wie gesagt, wie $A$ und $M$ laut Aufgabenstellung zusammenhängen, nämlich... ?) ─ tobit 28.10.2024 um 19:33
Um gezielt weiterhelfen zu können, brauche ich möglichst detaillierte Infos von dir, was du verstehst und was nicht.
Nehmen wir z.B. meine Formulierung
"Zum Nachweis von 1.: Die Idee ist, wenn man sie verstanden hat, gar nicht kompliziert: Wenn $x\in A$ und gleichzeitig irgendetwas anderes (hier $x\in M$) gilt, dann gilt "natürlich" insbesondere $x\in A$."
Klingt meine Formulierung "Wenn $x\in A$ und gleichzeitig irgendetwas anderes (hier $x\in M$) gilt, dann gilt "natürlich" insbesondere $x\in A$." für dich trivial oder kompliziert. nachvollziehbar oder nicht nachvollziehbar?
Ist dir klar, dass damit im Grunde schon eine Begründung für 1. erbracht ist, oder siehst du den Zusammenhang nicht?
Zu 2., also zum Nachweis der Aussage "Wenn $x\in A$ gilt, dann gilt $x\in A$ und $x\in M$":
Wenn $x\in A$ gilt, gilt dann $x\in A$?
Wenn $x\in A$ gilt, gilt dann $x\in M$? (Hier benötigst du wie gesagt, wie $A$ und $M$ laut Aufgabenstellung zusammenhängen, nämlich... ?) ─ tobit 28.10.2024 um 19:33