Also hier meine Lösungsansätze:

1.

\(|z-2|=|z-i|\)

Mit    \(z=a+bi\)    folgt

\(|a-2+bi|=|a+(b-1)i|\)

Der Betrag ist dann jeweils

\(\sqrt{(a-2)^2+b^2}=\sqrt{a^2+(b-1)^2}\)

Jetzt musst du das aulösen.

Zur Kontrolle: Du erhälst:

\(b=2a-\dfrac{3}{2}\)

Die Lösungen liegen also alle auf einer Geraden.

2.

Hier kann man (wie bei den anderen wahrscheinlich auch) mit Logik rangehen:

Es kommt ein Kreisring heraus, denn schlussendlich liefert dir der Betrag ja die Länge vom Ursprung aus. Das heißt deine die Punkte für \(z+2+2i\) müssen alle mindestens \(2\) und höchstend \(3\) Längeneinheiten vom Ursprung entfernt sein. Es entsteht ein Kreisring.

Da aber \(z\) um zwei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben verschoben wurde musst du um diese Zahlen korrigieren. Der Mittelpunkt des Kreisring muss also

bei \(M(-2|-2)\) liegen. Du erhälst also einen Innenkreis mit Radius \(2\) der den Mittelpunkt bei \(M(-2|-2)\) hat und einen Außenkreis mit Radius \(3\) der den selben Mittelpunkt hat.

3.

Hier bin ich auch wieder rechnerisch dran gegangen. Es gilt

\(z+1=a+1+bi\)         und         \(z-1=a-1+bi\)

mit

\(|z+1|=\sqrt{(a+1)^2+b^2}\)      und     \(|z-1|=\sqrt{(a-1)^2+b^2}\)

Außerdem gilt

\(\left|\dfrac{z+1}{z-1}\right|=\dfrac{|z+1|}{|z-1|}\)

Du rechnest also

\(\dfrac{|z+1|}{|z-1|}\geq 1\)

\(\dfrac{\sqrt{(a+1)^2+b^2}}{\sqrt{(a-1)^2+b^2}}=\sqrt{\dfrac{(a+1)^2+b^2}{(a-1)^2+b^2}}\geq 1\)

Beide Seiten quadrieren:

\(\dfrac{(a+1)^2+b^2}{(a-1)^2+b^2}\geq 1\)

Mit dem Nenner multiplizieren:

\((a+1)^2+b^2\geq (a-1)^2+b^2\)

Das ganze jetzt noch weiter vereinfachen. Du erhälst als Ergebnis:

\(a\geq 0\)

Deine Lösungen liegen also alle in der Komplexen Ebene rechts von der Imaginären Achse

Und zu deiner letzten Frage

\((ib)^2=i^2b^2=-b^2\)