Hallo,

so geht es leider nicht ganz. Du definierst am Ende ja \( s_i := a_i \) und \( t_i := b_i \). 

Was du hier im Grunde zeigen sollst ist folgendes. Wenn \( S = T \) auf einem Intervall \( [a,b] \), dann beschreiben beide Reihen die selbe Funktion. Wir haben aber unterschiedliche Zerlegungen dieser Funktion. Du sollst also zeigen, dass für jede Zerlegung einer Funktion in einem gegebenen Intervall das selbe Integral herauskommt. 

Was schon mal sehr sinnvoll ist, ist das Integral einer Treppenfunktion zu bestimmen

$$ \int\limits_a^b S(x) \ \mathrm{d}x = \int\limits_a^b \sum\limits_{k=1}^n a_k \textbf{1}_k \ \mathrm{d}x = \sum\limits_{k=1}^n a_k \int\limits_{x_{k}}^{x_{k+1}} \textbf{1}_k \ \mathrm{d}x = \sum\limits_{k=1}^n a_k(x_{k+1} - x_{k}) $$

Denn nur hier durch wird das Integral wirklich eindeutig. Nun betrachten wir doch mal, was passiert, wenn wir bei der Zerlegung einen Punkt \(x^*\) hinzufügen. Wie könnte das neue Integral (bzw die Summe) aussehen? 
Wie können wir dadurch zeigen, dass sich das Integral durch hinzufügen eines Punktes in der Zerlegung nicht ändert?

Daraus folgt dann natürlich, dass auch durch weglassen eines Punktes der Zerlegung sich das Integral nicht verändert. 

Daraus kann man induktiv folgern, dass eine Umstrukturierung der Zerlegung den Wert des Integrals nicht beeinflusst und daraus folgt dann die Wohldefiniertheit.

Grüße Christian