Hallo,
der Begriff Polarzerlegung stammt aus der Zerlegung einer komplexen Zahl in einen Abstands und Winkelteil
\( z = r e^{i \varphi } \)
Bei der Polarzerlegung zerlegen wir eine Matrix eigentlich in eine orthogonale Matrix \( U \) (diese sind geometrisch mit Drehungen zu vergleichen, ähnlich dem Winkelteil \( e^{i \varphi} \)) und eine positiv semidefinite symmetrische Matrix \( P \) (positiv semidefinit ist zu vergleich mit \( r \geq 0 \) und die Symmetrie mit der Symmetrie des Radius).
\( A = UP \)
Nun ist \( P \) diagonalisierbar und wir können eine ähnliche Diagonalmatrix finden
\( P = Q \Lambda Q^{-1} \\ \Rightarrow A = U Q \Lambda Q^{-1} \)
Setzen wir nun noch \( Q_1 = UQ \) und \( Q_2 = Q^{-1} \) erhalten wir deine Darstellung
\( A = Q_1 \Lambda Q_2 \)
Grüße Christian
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vielen Dank, das macht natürlich Sinn.
Eine anschauliche Anwendung von Polarzerlegung für Matrizen gibt es aber nicht oder? ─ wirkungsquantum 10.06.2019 um 11:21