Im zweiten Schritt hätte ich nach der letzten Zeile entwickelt, da du dort nur ein Element ungleich null hast. Für die Determinante einer \(3\times 3\)-Matrix gibt es eine ganz simple Rechnung:

\(|A| =\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}= aei + bfg + cdh -gec - hfa - idb\)

Wenn man die ersten beiden Spalten der Matrix rechts ergänzt, kann man das ganz leicht berechnen: 

\(\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}\ \begin{matrix} a & b & \\ d & e & \\ g & h & \end{matrix}\)

Man multipliziert jetzt immer diagonal von oben links nach unten rechts für die positiven Terme und von unten links nach oben rechts für die negativen Terme. Ich hoffe, das ist so verständlich.

Notfalls kann man aber auch hier die Laplace-Entwicklung benutzen, weshalb eigentlich unklar ist, weshalb du nicht weiterkommst. 

Tipp am Rande: Terme mit \(0\cdot\) würde ich an deiner Stelle gar nicht erst aufschreiben, da kommt ja sowieso 0 raus.

Bzgl. der Regularität: Die Matrix ist genau dann regulär, wenn \(\det A\neq 0\). Für welche \(\alpha\) kommt also \(0\) heraus, so dass die Matrix nicht regulär ist (übrigens fällt die erste \(3\times 3\)-Determinate weg, da sie 0 ist aufgrund der Nullzeile).