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In gewissem Sinne ja. Dies ist das Schema:
"\(\Rightarrow\)": Sei \(f\) ein Isomorphismus und \(g\) der zugehörige Homomorphismus aus der Definition. Beweise jetzt mit dieser Eigenschaft, dass \(f\) sowohl injektiv als auch bijektiv ist. Ich denke, die Schemata für diese Beweise kennst Du.
"\(\Leftarrow\)": Sei \(f\) bijektiv. Konstruiere jetzt die Abbildung \(g\) mit den in der Definition angegebenen Eigenschaften, so dass folgt, dass \(f\) ein Isomorphismus ist.
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slanack
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Ah, sorry, ich meinte im ersten Teil meiner Antwort auch "injektiv" und "surjektiv".
Der zweite Teil ist aber schwieriger, denn mann muss zeigen, dass die Umkehrfunktion \(g\) von \(f\) ein Homomorphismus ist. Habt Ihr das nicht gemacht? ─ slanack 01.12.2020 um 18:34
Der zweite Teil ist aber schwieriger, denn mann muss zeigen, dass die Umkehrfunktion \(g\) von \(f\) ein Homomorphismus ist. Habt Ihr das nicht gemacht? ─ slanack 01.12.2020 um 18:34
mein ursprünglicher Ansatz war eher naiv: ich zeige auf, dass f: G->H sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Über die geg. Bedingungen sollte diese Aufgaben erledigt sein. Tatsächlich hat es für diese Aufgabenstellung gereicht, denn bis dato hatten wir den Beweis über die Umkehrfunktion noch nicht in der Vorlesung. ─ iv.roth 01.12.2020 um 18:22