Maximum Likelihood für Dreiecksfunktion

Erste Frage Aufrufe: 273     Aktiv: 27.10.2023 um 02:28

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Hallo zusammen, 

angenommen ich habe eine Dreiecksfunktion

f(z) = z / h² für 0<z<h bzw. f(z)= 2h - z / h² für z-h<z<2*h.

Ist es hierfür möglich eine Parameterschätzung anhand einer Stichprobe für h mit Hilfe der klassischen Maximum Likelihood Methode durchzuführen?
Im Sinne von ableiten und 0 setzen.
Mein Problem hierbei ist, da ich h ja nicht kenne und daher nicht weiß, in welchem Intervall ich mich jeweils befinde. 
Oder kann man dies nur Iterativ lösen ? 

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Ich nehme an, in Deiner Funktionsdefinition muss es statt "für z-h<z<2*h" heißen: "für h<z<2*h".
Das f hängt ja noch vom Parameter h ab, so dass ich "\(f_h\)" statt f schreibe.
Ich nehme an, dass \(f_h(x)=0\) für x<0 und für x>2h.

Ja, man kann die "Maximum Likelihood Methode" durchführen. Die Likelihood-Funktion ist einfach das Produkt der f an den Stichprobenstellen:
\( \displaystyle L(h) = f_h(x_1) \cdot \ldots \cdot f_h(x_n) \; = \; \prod_{i=1}^n f_h(x_i) \).

Das Problem ist allerdings, dass das mit "L'(h)=0" nicht so recht weiterkommt, da die Funktion L an den \(x_i\) nicht differenzierbar ist. Es gibt aber iterative Verfahren, die auch ohne Ableitung eine Lösung finden, z.B. das  Verfahren des goldenen Schnitts.
Als Startintervall kann [M/2, M] dienen, wobei M das Maximum aller \(x_i\) ist.
Denn: Für h<M/2 ist L(h)=0, für h>M fällt L(h) monoton. Das Maximum liegt also mit Sicherheit in [M/2, M].

Bei großem n kann das Produkt riesig werden und den normalen Fließkommabereich sprengen. Man kann dann z.B. \(\log(L(h))\) maximieren.

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Danke schon mal.
Zu deinen Anmerkungen:
Die Dreiecksfunktion ist das Produkt zweier stetiger gleichverteilungen f(z)=1/h, z liegt im intervall [0,h].
  ─   gd2011 26.10.2023 um 22:44

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Das \(f_h\) aus meiner Antwort ist nicht das PRODUKT von zwei Gleichverteilungen, sondern deren FALTUNG.

\( f_h(z) = \left\{ \begin{array}{ll}
z / h^2 & \mbox{für } 0 \lt h \\
2h - z / h^2 &\mbox{für}\; h\le z< 2h \\
0 & \mbox{sonst}
\end{array} \right. \)

Es ist \(f_h=g_h * g_h\), wobei "*" die Faltung bedeutet, und \(g_h\) die Gleichverteilung aus Deinem Kommentar ist, also

\(g_h(z) = \left\{ \begin{array}{ll}
1 / h &\mbox{für}\; 0\lt z \lt h \\
0 & \mbox{sonst}
\end{array} \right. \)
  ─   m.simon.539 27.10.2023 um 02:28

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