Direkter Beweis

Aufrufe: 59     Aktiv: 04.05.2021 um 10:43

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Hallu! :3

Kann mir jemand sagen, wie ich sowas mithilfe eines direkten Beweises zeigen kann? Bzw. wie geht das hier genau?

Ist es vielleicht sowas ähnliches wie ein Binominalkoeffizent, dass ich es hier sozusagen umformen muss mit Fakultät und so weiter?  

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1 Antwort
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Es ist $$\prod_{i=2}^n\left(1-\frac1{i^2}\right)=\prod_{i=2}^n\frac{i-1}i\cdot\frac{i+1}i=\frac12\frac32\cdot\frac23\frac43\cdot\frac34\frac53\cdots\frac{n-2}{n-1}\frac{n}{n-1}\cdot\frac{n-1}n\frac{n+1}n$$ und jeder Bruch außer dem ersten und letzten kürzen sich raus.
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Oh wow, vielen Dank, ist das schon die Lösung oder wie? Dachte es wäre irgendwie viel länger... 😂

Muss Dir leider noch ein paar kleine Fragen stellen, um mir etwas Durchblick zu verschaffen:

--> Wie genau bist Du denn hier auf ( (i - 1) / i ) * ( (i+1) / i ) gekommen?

Ist vielleicht das hier der Grund?

1 - ( 1 / i^2 ) <---- bringe es auf den gleichen Nenner
(i^2 - 1) / i^2 = (i-1) * (i+1) / i^2 = ((i - 1) / i) * (( i + 1) / i))


--> Und dort wo kein Multiplikationszeichen dazwischen ist, was bedeutet das?
  ─   thepeasant 03.05.2021 um 19:46

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Genau, die Umformung hast du richtig erkannt. Natürlich werden alle Brüche miteinander multipliziert, ich habe versucht, sie durch die Multiplikationszeichen so zu gruppieren, dass man erkennt, dass immer zwei Brüche von einem \(i\) kommen.   ─   stal 03.05.2021 um 19:53

Wir haben hier einen Widerspruch, richtig? Denn bei der Angabe steht ja ((n+1) / 2n ), wohingegen hier beim Beweis ((n+1) / n) herauskommt. Oder verstehe ich da irgendwie etwas falsch? 🤔   ─   thepeasant 04.05.2021 um 10:21

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Der allererste Bruch bleibt ja auch stehen, also hast du \(\frac12\cdot\frac{n+1}n=\frac{n+1}{2n}\).   ─   stal 04.05.2021 um 10:23

Ah, jetzt hat es bei mir endlich Klick gemacht. Vielen vielen Dank für deine Hilfe! Du bist wirklich Klasse! :D   ─   thepeasant 04.05.2021 um 10:43

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