Beweis Reihen Nullfolge Grenzwert

Aufrufe: 90     Aktiv: 11.05.2022 um 00:39

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hallo,

diese Aussage soll gezeigt werden: Wenn xn eine Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe Summe von k=1 bis unendlich(xn-xn+1) und der Grenzwert muss x1 sein.

wie wird dies gezeigt? Wie geht man da heran?
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Wie bei den meisten Mathe-Aufgaben: Man fängt spielerisch einfach mal an, mit Beispielen.
Es geht um die Konvergenz von $s_n:=\sum\limits_{k=1}^n x_k-x_{k+1}$ (ich habe hier einen mutmaßlichen Tippfehler Deinerseits korrigiert, prüfe das nochmal).
Schreib dann mal die ersten Glieder von $s_n$ hin: $s_1=..., s_2=..., s_3=...$ usw.
Beachte dabei die Grundweisheit: die meisten Fragen zum Summenzeichen klären sich, wenn man das Summenzeichen ausschreibt (es ist ja nur ein Abkürzungssymbol).
Was stellst Du nun fest?
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Lehrer/Professor, Punkte: 23.98K

 

Ja ich hab mich bei der Variable vertan, es ist xk. Allerdings geht es bis unendlich   ─   nutzer123 10.05.2022 um 22:16

Ja, man schreibt das Summenzeichen mit unendlich zum einen für die Folge als auch für dessen Grenzwert, etwas gewöhnungsbedürftig. Es geht aber um die Folge der Partialsummen, $s_n$, siehe oben.   ─   mikn 10.05.2022 um 22:23

Ach so. Wie berechne ich zb s1? Das hängt doch von dem Wert von s2 ab und den kennt man ja nicht   ─   nutzer123 10.05.2022 um 22:32

In meiner Formel für n=1 einsetzen. Kennst Du das Summenzeichen überhaupt?   ─   mikn 10.05.2022 um 22:47

Würde das 1 sein, weil es von 1 bis 1 geht?   ─   nutzer123 10.05.2022 um 22:53

Nochmal: Kennst Du das Summenzeichen? Sonst hat die Aufgabe keinen Sinn. Schau Dir in Deinen Unterlagen die grundlegenden Dinge zum Summenzeichen nochmal an. Diese Aufgabe ist nicht so schwer, aber nichts für Anfänger.   ─   mikn 10.05.2022 um 22:59

Ich kenne das Summenzeichen. Nur bin ich mir gerade nicht sicher was passiert wenn der Startwert gleich dem Endwert ist? Ist die Summe 0? Oder setzt man einmal 1 ein? Wenn ja, dann steht da ja x1-x2 und hilft das weiter?   ─   nutzer123 10.05.2022 um 23:08

Du kennst es dann nicht richtig gut, wenn Du da unsicher bist.
Es läuft vom unteren Index bis zum oberen. Ja, $s_1=x_1-x_2$. Nun rechne für Dich selbst $s_2, s_3, s_4$ und sage mir dann, was allgemein $s_n$ ist.
  ─   mikn 10.05.2022 um 23:22

Mir fällt auf, dass beim Aufsummieren zwar x1 am Anfang stehen bleibt (der Grenzwert?), der Rest sich aber sozusagen immer aufhebt. Da ja auf jedes -xk+1 ein +xk+1 folgt   ─   nutzer123 10.05.2022 um 23:38

Ja, also was ist nun $s_n$ konkret? Mit math. Schreibweise, nicht mit Worten, beschreiben, bitte.   ─   mikn 10.05.2022 um 23:43

Zwischenbemerkung: Mit derselben Methode kannst Du übrigens auch die Reihe mit den Wurzeln ("Konvergenz/Divergenz Reihe" schnell und ohne Rechnung und ohne Kriterien klären.   ─   mikn 10.05.2022 um 23:51

Ich weiss nicht wie man die math Schreibweise nutzt, aber sn ist doch die konvergente Reihe mit dem Grenzwert x1? Reicht das als Beweis?   ─   nutzer123 10.05.2022 um 23:52

$s_n=?$. Ohne das kommen wir nicht weiter. Deine Intuition in Ehren, wir brauchen hier einen Beweis, der muss aufgeschrieben werden. Also: $s_n=?$
Oder, wenn das zu schwierig ist: $s_1=x_1-x_2$ (hatten wir schon), $s_2=?, s_3=?, s_4=?$.
  ─   mikn 10.05.2022 um 23:55

sn=x1?   ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:00

Nein. Also nochmal: $s_2=?, s_3=?, s_4=?$ Sauber ausrechnen, dann sind wir hier in 5 Minuten durch.   ─   mikn 11.05.2022 um 00:02

s2= x1-x3
s3=x1-x4
s4=x1-x5
  ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:05

Aha, also sn=?   ─   mikn 11.05.2022 um 00:06

sn= x1-xn+1?   ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:10

Ja, endlich, gut. Also konvergiert $s_n$ nun, und wenn ja wogegen? Achtung: Das erste darf mit Worten gesagt werden, das zweite erfordert die Zeile $\lim s_n = \lim (x_1-x_{n+1}) = ....$.
  ─   mikn 11.05.2022 um 00:14

Ja die Folge konvergiert gegen lim(x1-xn+1)= x1?   ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:20

Ja, ok. Aber bitte ordentlich aufschreiben, ich habe Dir doch das Muster gegeben, ist das denn so schwer sich daran zu halten? Deine letzte Zeile ist eben kein guter Antwortsatz auf die Aufgabenstellung (und die Begründungen fehlen noch).   ─   mikn 11.05.2022 um 00:25

Wenn Du das jetzt verstanden hast, kannst Du nach demselben Schema die andere Frage (siehe meine obige Zwischenbemerkung) leicht klären.   ─   mikn 11.05.2022 um 00:34

Ok, danke für die Hilfe!   ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:39

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