Beweis Reihen Nullfolge Grenzwert

Aufrufe: 550     Aktiv: 11.05.2022 um 00:39

0
hallo,

diese Aussage soll gezeigt werden: Wenn xn eine Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe Summe von k=1 bis unendlich(xn-xn+1) und der Grenzwert muss x1 sein.

wie wird dies gezeigt? Wie geht man da heran?
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 40

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Wie bei den meisten Mathe-Aufgaben: Man fängt spielerisch einfach mal an, mit Beispielen.
Es geht um die Konvergenz von $s_n:=\sum\limits_{k=1}^n x_k-x_{k+1}$ (ich habe hier einen mutmaßlichen Tippfehler Deinerseits korrigiert, prüfe das nochmal).
Schreib dann mal die ersten Glieder von $s_n$ hin: $s_1=..., s_2=..., s_3=...$ usw.
Beachte dabei die Grundweisheit: die meisten Fragen zum Summenzeichen klären sich, wenn man das Summenzeichen ausschreibt (es ist ja nur ein Abkürzungssymbol).
Was stellst Du nun fest?
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.17K

 

Ja ich hab mich bei der Variable vertan, es ist xk. Allerdings geht es bis unendlich   ─   nutzer123 10.05.2022 um 22:16

Ach so. Wie berechne ich zb s1? Das hängt doch von dem Wert von s2 ab und den kennt man ja nicht   ─   nutzer123 10.05.2022 um 22:32

Würde das 1 sein, weil es von 1 bis 1 geht?   ─   nutzer123 10.05.2022 um 22:53

Ich kenne das Summenzeichen. Nur bin ich mir gerade nicht sicher was passiert wenn der Startwert gleich dem Endwert ist? Ist die Summe 0? Oder setzt man einmal 1 ein? Wenn ja, dann steht da ja x1-x2 und hilft das weiter?   ─   nutzer123 10.05.2022 um 23:08

Mir fällt auf, dass beim Aufsummieren zwar x1 am Anfang stehen bleibt (der Grenzwert?), der Rest sich aber sozusagen immer aufhebt. Da ja auf jedes -xk+1 ein +xk+1 folgt   ─   nutzer123 10.05.2022 um 23:38

Ich weiss nicht wie man die math Schreibweise nutzt, aber sn ist doch die konvergente Reihe mit dem Grenzwert x1? Reicht das als Beweis?   ─   nutzer123 10.05.2022 um 23:52

sn=x1?   ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:00

s2= x1-x3
s3=x1-x4
s4=x1-x5
  ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:05

sn= x1-xn+1?   ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:10

Ja die Folge konvergiert gegen lim(x1-xn+1)= x1?   ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:20

Ok, danke für die Hilfe!   ─   nutzer123 11.05.2022 um 00:39

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.