Hallo,

die Ableitungen sind schon mal richtig, 

Zu den kritischen Punkte, also den Nullstellen des Gradienten. Der Gradient ist ein Vektor. Die Lösungen sind somit 2D Punkte. 

Der Gradient hat die Form

$$ \begin{pmatrix} (x^2 + 2x -16 )(y^2 -25) e^{x+y} \\ (x^2 - 16) (y^2 +2y -25) e^{x+y} \end{pmatrix} $$

\( e^{x+y} \) kann nicht null werden, desalb betrachten wir das Gleichungssystem

$$ \begin{array}{cccc} I: & (x^2 +2x -16)(y^2 -25) & = & 0 \\ II: & (x^2 -16)(y^2 +2y -25) & = & 0 \end{array} $$

Ein Produkt wird Null, genau dann wenn einer der Faktoren Null ist. Für die obere Gleichung gilt das für

$$ x_{1/2} = \pm \sqrt{17} -1 , \quad y_{1/2} = \pm 5 $$

Für die untere Gleichung gilt

$$ x_{3/4} = \pm 4 , \quad y_{3/4} = \pm \sqrt{26} -1 $$

Jeder Punkt der beide Gleichungen zu Null werden lässt ist ein kritischer Punkt und somit ein Kandidat für ein Extremum.

Wir  erhalten beispielsweise die Punkte 

$$ K_1(\sqrt{17}-1 | \sqrt{26}-1), \quad K_2(- \sqrt{17} -1 | -\sqrt{26} -1 ), \quad K_3(- \sqrt{17}-1 | \sqrt{26}-1), \ldots  $$

Findest du alle kritischen Punkte? Wie viele sind es?

Grüße Christian