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Das Gleichsetzen der beiden Funktionen ergibt:
\(f(x)=g(x)\). genau dann wenn. \(0=x^2+ax-2a^2\)
Damit sind \(p=a\) und \(q=-2a^2\). Nun sollten sich die Schnittpunkte mit Hilfe der p-q-Formel einfach ermitteln lassen.
Da \(a>0\) gilt, liegt g(x) über f(x). Somit müsste man dann rechnen:
\(4,5=\int_{x_1}^{x_2} g(x)-f(x) dx\)
Hoffe das hilft beim weiterkommen.
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maqu
Lehrer/Professor, Punkte: 9.03K
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Also innerhalb der Wurzel wird im ersten Term das Potenzgesetz \(\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\) angewendet. Damit erhältst du wie bereits erwähnt \(\frac{a^2}{2^2} =\frac{a^2}{4}\).
Nun musst du den zweiten Term mit 4 erweitern, um ihn zusammenfassen zu können. Man erhält also:
\(\frac{a^2}{4} +2a^2=\frac{a^2}{4} +\frac{8a^2}{4}= .....\)
Bei deinem Ergebnis kann dann auch gut die Wurzel gezogen werden. Wie für Potenzen gilt auch ähnlich für Wurzeln \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
Den Rest solltest du alleine schaffen. ─ maqu 18.12.2020 um 19:24
Nun musst du den zweiten Term mit 4 erweitern, um ihn zusammenfassen zu können. Man erhält also:
\(\frac{a^2}{4} +2a^2=\frac{a^2}{4} +\frac{8a^2}{4}= .....\)
Bei deinem Ergebnis kann dann auch gut die Wurzel gezogen werden. Wie für Potenzen gilt auch ähnlich für Wurzeln \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} =\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)
Den Rest solltest du alleine schaffen. ─ maqu 18.12.2020 um 19:24
Na was ergibt denn:
\(\sqrt{\frac{a^2}{4} +\frac{8a^2}{4}} =\sqrt{\frac{9a^2}{4}} =\frac{\sqrt{9a^2}}{\sqrt{4}} =...\)? ─ maqu 19.12.2020 um 09:41
\(\sqrt{\frac{a^2}{4} +\frac{8a^2}{4}} =\sqrt{\frac{9a^2}{4}} =\frac{\sqrt{9a^2}}{\sqrt{4}} =...\)? ─ maqu 19.12.2020 um 09:41
richtig, also \(\frac{3a}{2}\). Und was erhältst du dann für deine gesuchten Schnittpunkte?
\(x_{1,2} =-\frac{a}{2} \pm \frac{3a}{2}\)? ─ maqu 19.12.2020 um 09:52
\(x_{1,2} =-\frac{a}{2} \pm \frac{3a}{2}\)? ─ maqu 19.12.2020 um 09:52
Naja komplett wollen wir deine Aufgabe eigentlich nicht vorrechnen! Außerdem möchtest du ja auch selbst einen Lernerfolg haben.
Ja \(x_1=-2a\) und \(x_2=a\) sind deine beiden Lösungen das ist richtig. Also das generelle Vorgehen bei dieser Aufgaben ist wie folgt:
(1) Du musst zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen bestimmen, was du gerade machst. Die Schwierigkeit die du hast ist wahrscheinlich einfach nur, dass du mit einem Parameter \(a\) rechnen musst. Das brauch dich aber nicht irritieren, du kannst damit ganz normal rechnen wie bisher auch. Deine Lösungen für die Schnittpunkte hängen halt einfach von \(a\) ab.
(2) Du weist dein Flächeninhalt ist 4,5 FE und möchtest nun das \(a\) so bestimmen, dass das auch heraus kommt. Du berechnest also jetzt einfach:
\(\displaystyle{4,5=\int_{-2a}^a \big{(} g(x)-f(x)\big{)} \text{d}x =\int_{-2a}^a \big{(} -x^2 -ax+2a^2\big{)} \text{d}x}\)
Du rechnest deswegen \(g(x)-f(x)\), weil \(g(x)\) zwischen den Schnittstellen über der Funktion \(f(x)\) liegt. Da für dann Parameter \(a>0\) vorausgesetzt ist, nimmst du also das Integral von \(-2a\) bis \(a\). (Würde \(a<0\) gelten müsstest du das Integral von \(a\) bis \(-2a\) betrachten.) Du integrierst jetzt ganz normal nach \(x\) und behandelst den Parameter \(a\) einfach wie eine Zahl!
(3) Du erhältst eine Gleichung
\(4,5=\) irgendeine Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter \(a\)
Diese löst du dann noch und berechnest dein gesuchtes \(a\)
Soweit erst einmal das Vorgehen verstanden? Versuch erstmal selbst weiter zu rechnen, gegebenenfalls helf ich dir gerne weiter, wenn du nicht mehr weiter weist. ─ maqu 19.12.2020 um 10:09
Ja \(x_1=-2a\) und \(x_2=a\) sind deine beiden Lösungen das ist richtig. Also das generelle Vorgehen bei dieser Aufgaben ist wie folgt:
(1) Du musst zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen bestimmen, was du gerade machst. Die Schwierigkeit die du hast ist wahrscheinlich einfach nur, dass du mit einem Parameter \(a\) rechnen musst. Das brauch dich aber nicht irritieren, du kannst damit ganz normal rechnen wie bisher auch. Deine Lösungen für die Schnittpunkte hängen halt einfach von \(a\) ab.
(2) Du weist dein Flächeninhalt ist 4,5 FE und möchtest nun das \(a\) so bestimmen, dass das auch heraus kommt. Du berechnest also jetzt einfach:
\(\displaystyle{4,5=\int_{-2a}^a \big{(} g(x)-f(x)\big{)} \text{d}x =\int_{-2a}^a \big{(} -x^2 -ax+2a^2\big{)} \text{d}x}\)
Du rechnest deswegen \(g(x)-f(x)\), weil \(g(x)\) zwischen den Schnittstellen über der Funktion \(f(x)\) liegt. Da für dann Parameter \(a>0\) vorausgesetzt ist, nimmst du also das Integral von \(-2a\) bis \(a\). (Würde \(a<0\) gelten müsstest du das Integral von \(a\) bis \(-2a\) betrachten.) Du integrierst jetzt ganz normal nach \(x\) und behandelst den Parameter \(a\) einfach wie eine Zahl!
(3) Du erhältst eine Gleichung
\(4,5=\) irgendeine Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter \(a\)
Diese löst du dann noch und berechnest dein gesuchtes \(a\)
Soweit erst einmal das Vorgehen verstanden? Versuch erstmal selbst weiter zu rechnen, gegebenenfalls helf ich dir gerne weiter, wenn du nicht mehr weiter weist. ─ maqu 19.12.2020 um 10:09
Kompromiss: Am Ende gebe ich dir eine Musterlösung entsprechend der drei Schritte, ok? Aber glaub mir, du verstehst die Aufgabe am Ende besser, wenn du die Schritte selbst nachvollzogen und aufgeschrieben hast und nicht nur in die Lösung schaust. Getreu dem Motto: Durch die Hand in den Verstand!
─
maqu
19.12.2020 um 10:39
Beim Zusammenfassen musst du die Brüche entsprechend erweitern um sie zusammenzufassen.
─
maqu
19.12.2020 um 14:29
Also ok bitte schön:
(1) Aus \(f(x)=g(x) \quad \Leftrightarrow \qquad 0=x^2+ax-2a^2\) ergibt sich:
\(x_{1,2}=-\frac{a}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 -(-2a^2)} =-\frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{9a^2}{4}} =-\frac{a}{2} \pm \frac{3a}{2}\)
Somit erhältst du \(\boxed{x_1=-2a}\) und \(\boxed{x_2=a}\) als Schnittpunkte von \(f(x)\) und \(g(x)\) in Abhängigkeit von \(a\).
(2) Du berechnest das Integral:
\(\displaystyle{\int_{-2a}^a (-x^2-ax+2a^2) \text{d} x =\left[-\frac{1}{3}x^3 -\frac{1}{2} ax^2 +2a^2x\right]_{-2a}^a} =\left[\left(-\frac{1}{3}a^3 -\frac{1}{2}a^3 +2a^3\right)-\left(\frac{8}{3}a^3 -2a^3-4a^3\right)\right] =\left[\left(\frac{7}{6} a^3\right)-\left(-\frac{10}{3} a^3\right)\right] =\boxed{\frac{27}{6}a^3}\)
Man beachte beim Einsetzen von \(x_1=-2a\), dass Verhalten des Vorzeichen: \((-2a)^3=-8a^3\) bzw. \((-2a)^2=4a^2\)
Ich habe nicht alle Schritte aufgrund des Platzmangels hier aufgeschrieben. Das nachvollziehen der einzelnen Schritte beim Integrieren könntest du dir noch als Aufgabe machen.
(3) Man errechnet nun für welches \(a\) der Flächeninhalt von \(4,5=\frac{9}{2}\) angenommen wird:
\(\frac{9}{2}=\frac{27}{6} a^3 \quad \Leftrightarrow \quad a^3=1 \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{a=1}\) ─ maqu 19.12.2020 um 14:44
(1) Aus \(f(x)=g(x) \quad \Leftrightarrow \qquad 0=x^2+ax-2a^2\) ergibt sich:
\(x_{1,2}=-\frac{a}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 -(-2a^2)} =-\frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{9a^2}{4}} =-\frac{a}{2} \pm \frac{3a}{2}\)
Somit erhältst du \(\boxed{x_1=-2a}\) und \(\boxed{x_2=a}\) als Schnittpunkte von \(f(x)\) und \(g(x)\) in Abhängigkeit von \(a\).
(2) Du berechnest das Integral:
\(\displaystyle{\int_{-2a}^a (-x^2-ax+2a^2) \text{d} x =\left[-\frac{1}{3}x^3 -\frac{1}{2} ax^2 +2a^2x\right]_{-2a}^a} =\left[\left(-\frac{1}{3}a^3 -\frac{1}{2}a^3 +2a^3\right)-\left(\frac{8}{3}a^3 -2a^3-4a^3\right)\right] =\left[\left(\frac{7}{6} a^3\right)-\left(-\frac{10}{3} a^3\right)\right] =\boxed{\frac{27}{6}a^3}\)
Man beachte beim Einsetzen von \(x_1=-2a\), dass Verhalten des Vorzeichen: \((-2a)^3=-8a^3\) bzw. \((-2a)^2=4a^2\)
Ich habe nicht alle Schritte aufgrund des Platzmangels hier aufgeschrieben. Das nachvollziehen der einzelnen Schritte beim Integrieren könntest du dir noch als Aufgabe machen.
(3) Man errechnet nun für welches \(a\) der Flächeninhalt von \(4,5=\frac{9}{2}\) angenommen wird:
\(\frac{9}{2}=\frac{27}{6} a^3 \quad \Leftrightarrow \quad a^3=1 \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{a=1}\) ─ maqu 19.12.2020 um 14:44
\(x_{1,2} =-\frac{a}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2-(-2a^2)} =....\)
Welchen Term erhältst du denn unter der Wurzel? ─ maqu 18.12.2020 um 10:19