Surjektivität bei verknüpften Funktionen

Aufrufe: 420     Aktiv: 02.11.2020 um 14:32
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Hallo ich habe folgende Aufgabe

Gegeben sind die Abbildungen f: X-->Z und g: W-->Y

Die verknüpfung g*f = g(f(x)): X-->Y

 

Ich soll zeigen, dass wenn g*f surjektiv ist, dass auch g surjektiv ist. 

 

Angefangen habe ich mit der Definition der Surjektivität

g*f ist surjektiv, also für alle y in Y gibt es ein x in X, sodass y=g(f(x))

Aber jetzt weiß ich nicht wie ich davon schließen soll, dass g surjektiv ist. Kann mir da jemand weiterhelfen?

 

Vielen Dank!

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Wir wollen zeigen, dass \(g\) surjektiv ist. Also müssen wir zu jedem \(y\in Y\) ein \(z\in Z\) (ich nehme mal an, dass du statt W Z schreiben wolltest, sonst ist die Verknüpfung nicht wohldefiniert) finden mit \(g(z)=y\). Sei also \(y\in Y\) beliebig. Weil \(g\circ f\) surjektiv ist, gibt es ein \(x\in X\) mit \(y=(g\circ f)(x)=g(f(x))\). Wähle \(z=f(x)\in Z\). Dann gilt \(y=g(z)\) und wir sind fertig.

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Danke das ergibt SInn! In unserer Aufgabe steht aber tatsächlich W und nicht Z. Ist die Aufgabe dann nicht zu lösen? Dann würde ich meinen Dozent kontaktieren   ─   nicotil 02.11.2020 um 13:52
Steht vielleicht noch irgendwo \(Z\subseteq W\)? Ansonsten, wenn \(Z\) und \(W\) zwei verschiedene Mengen sind, liegt \(f(X)\) nicht im Definitionsbereich von \(g\) und die Verknüpfung kann nicht definiert werden.   ─   stal 02.11.2020 um 14:09
Ne steht da leider nicht. Alles klar dann, vielen Dank für die Antwort!   ─   nicotil 02.11.2020 um 14:32

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