Das so zu schreiben, ist sehr gefährlich, weil es suggeriert, dass \(\frac1{f'(x)}e^{f(x)}\) immer eine Stammfunktion von \(e^{f(x)}\) wäre, das ist aber nicht so. Das gilt nur dann, wenn \(f'(x)\) konstant ist, also wenn \(f\) linear ist.

Leiten wir mal \(e^{2x}\) ab: Da kommt \(2e^{2x}\) raus. Multiplizieren wir also unsere ursprüngliche Funktion mit \(\frac12\), kommt genau \(e^{2x}\) beim Ableiten raus, also ist \(\frac12e^{2x}\) eine Stammfunktion von \(e^{2x}\). Allgemein ist \(\frac1ae^{ax+b}\) eine Stammfunktion von \(e^{ax+b}\).

Natürlich kannst du auch den Exponenten substituieren und kommst auch auf den richtigen Vorfaktor. Aber ich denke, es ist hilfreich zu verstehen, dass das funktioniert, weil die Ableitung des Exponenten eine Konstante ist und (multiplikative) Konstanten beim Ableiten/Integrieren stehen bleiben.

Das ist einfach nur die Umkehrung der Kettenregel. Die Ableitung von \(F\) mit \(F(x)=\frac 1 2 e^{2x}\) ist nämlich $$F'(x)=(2x)'\cdot \frac 1 2 e^{2x}=e^{2x}$$