Konvergenz von Reihen Wurzelkriterium notwendige und hinreichende Bedingung

Aufrufe: 910     Aktiv: 09.06.2021 um 19:38
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Hallo,

ich soll bei einer Aufgabe zeigen, dass 
\(\sqrt[n]{|a_{n}|}<1\)
eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe ist.

Das mit der notwendigen Bedingung habe ich auch hinbekommen, weil wenn das Gegenteil also
\(\sqrt[n]{|a_{n}|}\ge 1\) gilt
dann müsste ja \( |a_{n}|\ge 1\) gelten und somit wäre \( a_{n}\) keine Nullfolge mehr und daher divergiert dann die Reihe.

Allerdings komme ich irgendwie nicht weiter wie ich zeige das \(\sqrt[n]{|a_{n}|}<1\) keine hinreichende Bedingung ist, für einen Tipp wäre ich also sehr dankabr

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Hallo,

finde am Besten ein Gegenbeispiel. Suche eine Folge, für die $ \sqrt [n] {|a_n|} < 1 $, allerdings $ \limsup\limits_{n \to \infty}  \sqrt [n] {|a_n|} = 1 $.

Was ist die erste divergente Reihe die dir in den Sinn kommt?

Grüße Christian
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Schon mal vielen dank für den Tipp also dürfte ich das einfach über die harmonische Reihe argumentieren (also das wäre zumindest so die erste divergente Reihe die mir einfällt) und sagen das dort für fast alle Folgenglieder das Kriterium gilt (also außer für das nullte Folgenglied) die Reihe aber trotzdem nicht konvergiert also ist das Kriterium nicht hinreichend?   ─   user012e73 09.06.2021 um 13:47
Ja genau. Die harmonische Reihe ist divergent, allerdings ist
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac 1n } = \lim\limits_{n \to \infty} \frac 1 {\sqrt[n]{n}} = 1 $$
Und da der Grenzwert \( 1 \) ist, ist auch der limes Superior gleich \(1 \).

Wir müssen hier aber etwas aufpassen, denn für \( n=1\) ist \( \sqrt[1]{\frac 1 1 } = 1 \). Deshalb nehmen wir einfach

$$ \sum\limits_{n=2}^\infty \frac 1n $$

Wir können immernoch das selbe Argument nutzen um zu zeigen dass diese divergiert und wir haben außerdem \( \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \).   ─   christian_strack 09.06.2021 um 19:38

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