Eigentlich steht ja erklärt, was gemacht wurde. Hast du es mal nachgerechnet? Denn durchs angucken kann man sowas nicht verstehen. Man muss es schon nachrechnen. Musterlösungen sind häufig sehr verkürzt und lassen viele Rechenschritte weg, deswegen sollte man solche Aufgaben immer auch selbst rechnen. 

Einen einzigen Lösungsweg gibt es in der Mathematik selten. Sicherlich funktioniert hier auch etwas anderes, aber auch das müsste man selbstverständlich nachrechnen. 

Zur Schreibweise: Ich vermute, die Aufgabe stammt aus einem Physikkurs. Die Physiker schreiben das $\mathrm{d}x$ gerne vor den Integranden.

Zur eigentlichen Aufgabe: 
Weißt du, wie eine Substitution im Allgemeinen funktioniert? 
Weißt du, was eine Partialbruchzerlegung ist und wie man diese berechnet?
Weißt du, wie man dann die einzelnen Terme der Partialbruchzerlegung integriert?

Kläre für dich erst einmal diese Fragen. Vorher kann man so eine Lösung nämlich nicht verstehen.

Zunächst einmal möchte ich loswerden das ich die Schreibweise persönlich unschön finde mit dem $dx$ im Integral vor der zu integrierenden Funktion. Ich schreibe es anders auf, aber es sollte trotzdem klar werden.

Das $\dfrac{1}{y}$ kommt daher das du die Integrationsvariable ersetzt. Es ist $\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{y} \quad \Leftrightarrow dx =\dfrac{1}{y} \cdot dy$. Somit wird $\displaystyle{\int dx }$ zu $\displaystyle{\int \dfrac{1}{y} dy }$.

Die nächsten Schritte ergeben sich, in dem man im Zähler eine Nulladdition von y macht (füge y hinzu und zieh es gleich wieder ab) und man danach dan Bruch aufteilt. Schritt für Schritt sieht das so aus

\[\dfrac{1-y}{1+y}=\dfrac{1+y-y-y}{1+y}=\ldots=1-\dfrac{2y}{1+y}\]

Danach wird die Klammer aufgelöst, so dass dann das Integral jeweils einzeln die Stammfunktion der $\ln$-Funktion bestimmt.