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Es gibt viele Möglichkeiten, solche Matrizen zu konstruieren. Man kann z.B. solange lineare Gleichungen suchen, die die gegebenen Vektoren erfüllen, bis der Rang der Matrix hoch genug ist, dass keine anderen Vektoren mehr im Kern liegen können. Das ist vermutlich der schnellste Weg, aber etwas unsauber und man muss die richtigen Gleichungen "erraten", was in diesem Fall noch recht einfach ist, bei größeren Dimensionen aber schwierig werden kann.
Ich gebe dir einen allgemeineren Weg am Beispiel deiner ersten Frage:
Ergänze die gegebenen Vektoren zu einer Basis des \(\mathbb R^4\), in diesem Fall kann man z.B. \(e_1=(1,0,0,0)\) und \(e_2=(0,1,0,0)\) hinzunehmen. Definiere eine lineare Abbildung, deren Abbildungsmatrix dann die gesuchte Matrix sein soll. Sie muss also die beiden gegebenen Vektoren auf \(0\) und die anderen beiden Vektoren auf etwas beliebiges, was nicht 0 ist und nicht linear abhängig ist, schicken. Zum Beispiel kann man für diese Vektoren immer die Identität wählen. Definiere also $$f:\mathbb R^4\to\mathbb R^4,e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,(2,2,1,0)\mapsto 0,(3,1,0,1)\mapsto 0.$$ Eine lineare Abbildung ist ja bereits durch die Angabe der Bilder einer Basis bestimmt, daher ist unser \(f\) wohldefiniert. Offensichtlich gilt \(\langle(2,2,1,0),(3,1,0,1)\rangle\subseteq\ker f\), weiter hat \(f\) Rang \(2\), damit folgt mit dem Dimensionssatz, dass kein weiterer Vektor im Kern liegt. Also erfüllt die Abbildungsmatrix von \(f\) die geforderten Eigenschaften. Um diese zu bestimmen, müssen wir nur die Bilder der Standardbasis unter \(f\) bestimmen und spaltenweise in die Matrix schreiben. Für \(e_1,e_2\) ist das einfach. Für die anderen beiden gilt $$f(e_3)=f((2,2,1,0)-2e_1-2e_2)=f((2,2,1,0))-2f(e_1)-2f(e_2)=(-2,-2,0,0),$$$$f(e_4)=f((3,1,0,1)-3e_1-e_2)\overset{\text{analog}}=(-3,-1,0,0)$$ und wir erhalten als Matrix $$\begin{pmatrix}1&0&-2&-3\\0&1&-2&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$ Die letzten beiden Nullzeilen kannst du auch weglassen, die verändern den Kern der Matrix schließlich nicht. (Wir hätten auch gleich am Anfang als Bild von \(f\) den \(\mathbb R^2\) wählen können, dann wären die Nullzeilen gar nicht aufgetaucht.)
Ich gebe dir einen allgemeineren Weg am Beispiel deiner ersten Frage:
Ergänze die gegebenen Vektoren zu einer Basis des \(\mathbb R^4\), in diesem Fall kann man z.B. \(e_1=(1,0,0,0)\) und \(e_2=(0,1,0,0)\) hinzunehmen. Definiere eine lineare Abbildung, deren Abbildungsmatrix dann die gesuchte Matrix sein soll. Sie muss also die beiden gegebenen Vektoren auf \(0\) und die anderen beiden Vektoren auf etwas beliebiges, was nicht 0 ist und nicht linear abhängig ist, schicken. Zum Beispiel kann man für diese Vektoren immer die Identität wählen. Definiere also $$f:\mathbb R^4\to\mathbb R^4,e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,(2,2,1,0)\mapsto 0,(3,1,0,1)\mapsto 0.$$ Eine lineare Abbildung ist ja bereits durch die Angabe der Bilder einer Basis bestimmt, daher ist unser \(f\) wohldefiniert. Offensichtlich gilt \(\langle(2,2,1,0),(3,1,0,1)\rangle\subseteq\ker f\), weiter hat \(f\) Rang \(2\), damit folgt mit dem Dimensionssatz, dass kein weiterer Vektor im Kern liegt. Also erfüllt die Abbildungsmatrix von \(f\) die geforderten Eigenschaften. Um diese zu bestimmen, müssen wir nur die Bilder der Standardbasis unter \(f\) bestimmen und spaltenweise in die Matrix schreiben. Für \(e_1,e_2\) ist das einfach. Für die anderen beiden gilt $$f(e_3)=f((2,2,1,0)-2e_1-2e_2)=f((2,2,1,0))-2f(e_1)-2f(e_2)=(-2,-2,0,0),$$$$f(e_4)=f((3,1,0,1)-3e_1-e_2)\overset{\text{analog}}=(-3,-1,0,0)$$ und wir erhalten als Matrix $$\begin{pmatrix}1&0&-2&-3\\0&1&-2&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$ Die letzten beiden Nullzeilen kannst du auch weglassen, die verändern den Kern der Matrix schließlich nicht. (Wir hätten auch gleich am Anfang als Bild von \(f\) den \(\mathbb R^2\) wählen können, dann wären die Nullzeilen gar nicht aufgetaucht.)
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stal
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