Ich rechne dir mal die a) vor: Da der Integrand eine stetige, beschränkte Funktion ist, existiert das Integral auf jeden Fall und es gilt

$$\int_0^bx^3\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac bn\sum_{i=1}^n\left(\frac{bi}n\right)^3=\lim_{n\to\infty}\left(\frac bn\right)^4\sum_{i=1}^ni^3=\lim_{n\to\infty}b^4\frac{n^2(n+1)^2}{4n^4}=\lim_{n\to\infty}b^4\left(\frac{1}{4}+\frac1{2n}+\frac1{4n^2}\right)=\frac{b^4}4.$$

Und tatsächlich ist $$\frac{d}{db}\frac{b^4}4=b^3=x^3\Big|_{x=b}.$$ Also stimmt der HDI in diesem Fall.

Ich hoffe, das erklärt die Herangehensweise. Kannst du jetzt die b) selbst rechnen? Wenn du noch Fragen hast, kannst du sie gern stellen.