Die (i) fragt nach allgemeinen Bedingungen für eine Basis des \(\mathbb{R}^3\). Da \( dim( \mathbb{R}^3) = 3 \) ist, reichen hier die Bedingungen: Es müssen genau drei Vektoren sein. Und die Vektoren müssen linear unabhängig sein.

Bei (ii) musst du also nun die Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen. Das bedeutet, du musst überprüfen, welche Lösungen die Gleichung \( \lambda_1 a + \lambda_2 b + \lambda_3 c = 0 \) besitzt. Hat sie nur die triviale Lösung \( \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \), dann sind die Vektoren \(a,b,c\) linear unabhängig und bilden dann nach (i) eine Basis des \( \mathbb{R}^3 \). Wenn nicht, dann sind sie linear abhängig und bilden keine Basis.

Eine Basis ist ein minimales erzeugendensystem. Das heisst, die mind. anzahl an vektoren die benoetigt werden um alle vekotren in \(R^3\) per linearkombination erzeugen zu koennen. Im \(R^3\) sind das genau 3 linear unabhaengige Vektoren. Um zu zeigen, ob deine vektoren a, b ,c eine basis von \(R^3\) bilden musst du nur noch schauen ob sie linear unabhaengig sind.

Dafuer kannst du z.b. einfach die vektoren in eine matrix stecken \(\begin{pmatrix} a, & b, & c\end{pmatrix}\) und Gausselimination entweder an den Spalten oder Zeilen machen. Falls eine 0 Zeile bzw. Spalte ergibt dann sind sie linear abhaengig, sonst falls du die typische Dreiecksform kriegst sind sie unabhaengig.