Beweis Monome bilden Basis

Aufrufe: 324     Aktiv: 02.12.2023 um 21:07
Jetzt Frage stellen
0
 
Ich komme hier nicht so ganz weiter, obwohl es ja eigentlich recht rivial ist. 
Ich weiß, das es Mn mir immer N+1 Nullstellen liefert (bzw. ich glaube die Menge immer N+1 ist), da ja x^0+ x^1+x^2+....+x^n immer n monome + 1 ist. 
Außerdem kann es ein Nullpolynom sein, da wir ja max. Grad n haben und nicht n+1. 

Ich weiß auch, dass die lineare unabhängigkeit gegeben ist, da wir die Polynome nicht linear kombinieren können bzw nur wenn 0*x^n +0*x^n und weil alle Koeffizienten gleich sind könnte man auch annehmen a0=a1=a2=0?. 
Aber wie kommt man darauf, dass Mn ein Erzeugendensystem bildet.

Die Gedanken sind jetzt total durcheinander, aber ich schaffe es nicht was sinnvolles zu extrahieren und bräuchte ein wenig hilfe.
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 24

 
Ein guter Anfang wäre der Hinweis, kommt der in Deinen Gedanken vor? Wir kennen Satz 11 im Skript nicht, aber Du.   ─   mikn 02.12.2023 um 18:46
Ja nämlich: Stimmen p(z) = £an*z^n und g(z) = bn*z^n an mindestens N + 1 Stellen überein, so sind die
Polynome identisch, d.h. für alle n=0,…, N gilt an = bn.
£ soll das summen Zeichen mit n=0 und N darstellen   ─   bergmeister 02.12.2023 um 19:07
1
Der Beweis, dass \(\cal{M}_N\) ein Erzeugendensysten ist, ist m.E. banal: Definiere das Monom \(m_n(x)=x^n\).
Sei \(p\in\mathbb{P}_N\).
Dann gibt es \(a_0,\ldots,a_N\in \mathbb{R}\), so dass \(\displaystyle p(x) = \sum_{n=0}^N a_n x^n = \sum_{n=0}^N a_n m_n(x) = \left(\sum_{n=0}^N a_n m_n\right)(x)\), also \(\displaystyle p=\sum_{n=0}^N a_n m_n\).
Und damit hätte ich doch p schon als Linearkombination der \(\cal{M}_N\) hingeschrieben, oder?




   ─   m.simon.539 02.12.2023 um 20:14
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Aha, dann liefert Satz 11 die lin. Unabhängigkeit.
Erzeugendensystem ist noch einfacher: Sei p ein Polynom vom Grad $\le n$, also $p(x)=...$. Dann kann man die Koeffizienten von Elementen von M_n direkt ablesen.
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 39.94K

 
Okay ja das mit der Unabhängigkeit hatte ich so eine Ahnung aber beim Erzeugenden System war ich ratlos   ─   bergmeister 02.12.2023 um 19:57
1
Und wo war das Problem? Polynom hinschreiben, gefragte Linearkombination ablesen.   ─   mikn 02.12.2023 um 21:07

Kommentar schreiben

Jetzt Antwort schreiben