Beweis Monome bilden Basis

Aufrufe: 234     Aktiv: 02.12.2023 um 21:07

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Ich komme hier nicht so ganz weiter, obwohl es ja eigentlich recht rivial ist. 
Ich weiß, das es Mn mir immer N+1 Nullstellen liefert (bzw. ich glaube die Menge immer N+1 ist), da ja x^0+ x^1+x^2+....+x^n immer n monome + 1 ist. 
Außerdem kann es ein Nullpolynom sein, da wir ja max. Grad n haben und nicht n+1. 

Ich weiß auch, dass die lineare unabhängigkeit gegeben ist, da wir die Polynome nicht linear kombinieren können bzw nur wenn 0*x^n +0*x^n und weil alle Koeffizienten gleich sind könnte man auch annehmen a0=a1=a2=0?. 
Aber wie kommt man darauf, dass Mn ein Erzeugendensystem bildet.

Die Gedanken sind jetzt total durcheinander, aber ich schaffe es nicht was sinnvolles zu extrahieren und bräuchte ein wenig hilfe.
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Ein guter Anfang wäre der Hinweis, kommt der in Deinen Gedanken vor? Wir kennen Satz 11 im Skript nicht, aber Du.   ─   mikn 02.12.2023 um 18:46

Ja nämlich: Stimmen p(z) = £an*z^n und g(z) = bn*z^n an mindestens N + 1 Stellen überein, so sind die
Polynome identisch, d.h. für alle n=0,…, N gilt an = bn.
£ soll das summen Zeichen mit n=0 und N darstellen
  ─   bergmeister 02.12.2023 um 19:07

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Der Beweis, dass \(\cal{M}_N\) ein Erzeugendensysten ist, ist m.E. banal: Definiere das Monom \(m_n(x)=x^n\).
Sei \(p\in\mathbb{P}_N\).
Dann gibt es \(a_0,\ldots,a_N\in \mathbb{R}\), so dass \(\displaystyle p(x) = \sum_{n=0}^N a_n x^n = \sum_{n=0}^N a_n m_n(x) = \left(\sum_{n=0}^N a_n m_n\right)(x)\), also \(\displaystyle p=\sum_{n=0}^N a_n m_n\).
Und damit hätte ich doch p schon als Linearkombination der \(\cal{M}_N\) hingeschrieben, oder?




  ─   m.simon.539 02.12.2023 um 20:14
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1 Antwort
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Aha, dann liefert Satz 11 die lin. Unabhängigkeit.
Erzeugendensystem ist noch einfacher: Sei p ein Polynom vom Grad $\le n$, also $p(x)=...$. Dann kann man die Koeffizienten von Elementen von M_n direkt ablesen.
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Okay ja das mit der Unabhängigkeit hatte ich so eine Ahnung aber beim Erzeugenden System war ich ratlos   ─   bergmeister 02.12.2023 um 19:57

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Und wo war das Problem? Polynom hinschreiben, gefragte Linearkombination ablesen.   ─   mikn 02.12.2023 um 21:07

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