Hallo,
zuerst einmal, darfst du beim subtrahieren von Brüchen nicht einfach die Nenner voneinander abziehen. Du musst zuerst beide Brüche auf den selben Nenner bringen und dann kannst du die Zähler subtrahieren.
Du kannst zum Beispiel immer folgendes tun
$$ \frac a b \pm \frac c d = \frac {ad} {bd} \pm \frac {cb} {bd} = \frac {ad\pm cb} {bd} $$
du kannst also jeweils einen Bruch mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Es gäbe hier noch eine einfachere Möglichkeit, aber möglicherweise nur einfacher, wenn es einem sofort auffällt. Es reicht hier nämlich, nur den linken Bruch zu erweitern. Die Frage wäre hier, womit?
Wenn du den Bruch dann richtig zusammengefasst hast, dann kannst du Zähler als auch Nenner auf den Grenzwert überprüfen. Macht es einen Unterschied, ob du dich von links oder von rechts an die Zahl annäherst? Ist der Grenzwert für alle \( \alpha \) gleich?
Grüße Christian
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$$ (-x^3+1) \div (-x+1) = x^2+ x + 1 $$
Wenn man einen Restterm erhält, muss man automatisch so vorgehen wie in der Formel in meiner Antwort. Wenn es glatt aufgeht wie hier, dann kann man es sich häufig etwas einfacher machen. ─ christian_strack 29.01.2021 um 17:23
─ anonymf907f 29.01.2021 um 18:00
$$ f(x) = \frac {2x^2 + (1-\alpha)x + 1 } {1-x^3} $$
Wenn wir für den Nenner nun \(x\) gegen \(1 \) laufen lassen, würde der Nenner gegen was streben?
Was würde für den Zähler dabei herauskommen? ─ christian_strack 29.01.2021 um 18:03
Aber erstmal, genau der Nenner geht gegen Null.
Der Zähler geht gegen
$$ 2 \cdot 1 + (1-\alpha) \cdot 1 + 1 = 4- \alpha $$
Könntest du dir vorstellen, welche Fälle du für \( \alpha \) betrachten musst? ─ christian_strack 29.01.2021 um 18:42
würdde gedanklich die 1 einsetzen ─ anonymf907f 29.01.2021 um 18:55
Wenn wir \( \alpha = 4 \) setzen, dann werden sowohl der Zähler, als auch der Nenner Null.
Das ist definitiv ein Fall den wir gesondert betrachten müssen.
Wenn \( \alpha < 4 \) ist, dann ergibt der Zähler eine eine positive oder negative Zahl, wenn \( x=1 \)? Genauso, wenn \( \alpha > 4 \) ist, ergibt der Zähler nun eine positive oder negative Zahl?
Wir erhalten also für \( \alpha \) schon mal wie viele Fälle? ─ christian_strack 29.01.2021 um 18:58
Wir wissen ja schon durch das Zusammenfassen, dass
$$ 1-x^3 = (1-x)(x^2+x+1) $$
Faktorisieren ist jetzt genau das richtige Stichwort. Kannst du den Zähler faktorisieren? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:00
$$ \begin{array}{ccc} 1. & \alpha = 4 \\ 2. & \alpha > 4 \\ 3. & \alpha < 4 \end{array} $$
Die weiteren Fälle entstehen wodurch? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:02
kommt nach der erweiterung 2x^2+x+1/1-x^3 heraus??? ─ anonymf907f 29.01.2021 um 19:14
$$ \frac 1 {1-x} - \frac {\alpha x + x^2} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1} {1-x^3} - \frac {\alpha x + x^2} {1-x^3} = \frac {x^2 + x + 1 - \alpha x - x^2} {1-x^3} = \frac {(1-\alpha)x +1 } {1-x^3} $$
Dadurch verändert sich ein bisschen was, aber nicht so viel bis jetzt.
wir überprüfen wieder den Zähler für \( x=1 \) und erhalten
$$ (1-\alpha) \cdot 1 + 1 = 2 - \alpha $$
Also ergeben sich die 3 Fälle für \( \alpha \) zu:
$$ \begin{array}{cc} 1. & \alpha = 2 \\ 2. & \alpha > 2 \\ 3. & \alpha < 2 \end{array} $$
Wenn wir nun \( \alpha =2 \) setzen, erhalten wir den Bruch
$$ \frac {-x+1} {1-x^3} = \frac {-x+1} {(-x+1)(x^2+x+1)} $$
So, die Verwirrung tut mir Leid.
Wie können wir hier jetzt weiter vorgehen?
Zu deiner Frage: Es gibt den sogenannten linksseitigen und rechtsseitgen Grenzwert. Beispielsweise bei der Betrachtung von \( x \to 1 \), lassen wir \( x \) von "unten" an die \( 1 \) herangehen. Also quasi durch die Zahl \( 0{,}9999999\ldots\). Beim rechtsseitgen nähern wir uns von "oben" an, also quasi durch \( 1{,}0000\ldots001 \) (unmathematisch gesprochen). Dadurch verändert sich ein Vorzeichen. Und somit haben wir am Ende 5 Fälle. ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:15
$$ \frac 1 {1-x} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} $$
oder? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:22
Ok also nach dem erweitern und zusammenfassen, erhalten wir aber
$$ \frac {-x+1} {(-x+1)(x^2+x+1)} $$
das ist ja genau der Fall, denn ich in meiner letzten Antwort gerade betrachten wollte. Wie kannst du nun weiter vorgehen? ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:24
$$ \frac {x^2+x+1} {1-x^3} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1-(2x+x^2)} {1-x^3} = \frac {x^2+x+1-2x-x^2} {1-x^3} $$
Das Minus vor dem zweiten Bruch bezieht sich auf den ganzen Zähler und nicht nur auf die \(2x\). ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:30
$$ \lim\limits_{x\to1} \frac 1 {1-x} - \frac {2x+x^2} {1-x^3} = \lim\limits_{x\to1} \frac {-x +1 } {(-x+1)(x^2+x+1)} = \lim\limits_{x\to1} \frac 1 {x^2+x+1} = ? $$ ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:42
Sehr gerne, ─ christian_strack 29.01.2021 um 19:42
lim x gegen 1 (1/1-x-3/1-x^3) alles gleich statt 2x+x^2 ist es die 3 ─ anonymf907f 29.01.2021 um 19:45
Kannst du den neuen Zähler faktorisieren?
─ christian_strack 29.01.2021 um 19:51
$$ (1-x) \cdot (x^2+x+1) = 1-x^3 $$
Du kannst ja also wieder nur den linken Bruch mit \(x^2+x+1 \) erweitern. Wir können es aber auch mal anders machen. Nach der Formel aus meiner Antwort müsstest du dann einen bruch mit \(1-x\) und den anderen mit \( 1-x^3 \) erweitern. ─ christian_strack 29.01.2021 um 20:01
Also insgesamt
$$ \frac {-x^3 + 3x - 2 } {x^4-x^3 - x + 1 } $$
Was passiert wenn wir \( x=0 \) setzen mit Zähler und Nenner? ─ christian_strack 29.01.2021 um 20:49
nenner 1 ─ anonymf907f 29.01.2021 um 20:54
Wir haben hier wieder einen Ausdruck der Form \( \frac 0 0 \). Dieser ist undefiniert.
Da \(x=1\) Nullstelle des Zählers und Nenners ist, haben wir eine sogenannte hebbare Definitionslücke. Wir müssen jetzt Polynomdivision nutzen um sowohl im Zähler als auch im Nenner diese Nullstelle "loszuwerden".
Was erhalten wir?`Was passiert wenn wir wieder in Zähler und Nenner \(x=1 \) setzen? ─ christian_strack 01.02.2021 um 12:24
─ anonymf907f 01.02.2021 um 13:10
Ja genau, wenn
$$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f(x)} {g(x)} $$
einen unbestimmten Ausdruck annimmt (wie beispielsweise \( \frac 0 0 \) können wir l'hospital nutzen. Wenn der Grenzwert existiert, gilt
$$ \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac {f'(x)} {g'(x)} $$
wir können also auch einfach (wie du bereits gesagt hast) Zähler und Nenner ableiten und uns den Grenzwert angucken. Manchmal erhält man wieder so eine Art Ausdruck, dann muss man l'hospital eventuell mehrfach anwenden. ─ christian_strack 01.02.2021 um 13:19
$$ \frac {-3x^2+3} {4x^3-3x^2-1} $$
raus. Was passiert, wenn wir \( x=1 \) setzen? ─ christian_strack 01.02.2021 um 13:20