Urbild der faser

Aufrufe: 221     Aktiv: 09.04.2022 um 23:06

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Hallo zusammen, 
ich komme bei b) nicht weiter. Soweit ich weiß, bestimmt man das Urbild, indem man die Vorschrift mit dem Ergebnis gleich setzt und dann x berechnet. Ich komme damit hier aber nicht weiter. Dann habe ich gelesen man soll die Umkehrfunktion bilden und damit irgendwas machen. Ich bin gerade total überfordert und weiß garnicht weiter. 

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Student, Punkte: 68

 
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Hallo

Ich versuche nun hier kurz und knapp wichtige Grundlagen zu präsentieren, die dir helfen sollten die Aufgabe zu verstehen. Also wir nemen an wir haben eine Funktion $f:A\rightarrow B$ wobei $A\subseteq \Bbb{R}^n$ und $B\subseteq \Bbb{R}^m$. Nun können wir zwei grundlegende Definitionen geben: Wir definieren zuerst das Bild einer Menge $V\subset A$ mit $$f(V)=\{f(v):v\in V\}\subset B$$
Nun können wir auch das Urbild einer Menge $U\subset B$ als $$f^{-1}(U):=\{a\in A: f(a)\in U\}\subset A$$ definieren.
Also ist das Urbild die Menge aller Elemente in unserem Definitionsbereich deren Bild in $U$ liegt.

An diesem Punkt eine Warnung!!!Es besteht eine Verwirrungsgefahr, da man $f^{-1}$ für zwei verschiedene Begriffe benötigt. Man schreibt sowohl das Urbild als auch die Umkehrfunktion als $f^{-1}$. Dabei ist das aber ein wesentlicher Unterschied. Also nur weil da $f^{-1}$ steht heisst das nicht, dass damit die Umkehrfunktion gemeint ist. Genauer gesagt existiert das Urbild immer, aber die Umkehrfunktion existiert per Definition nur genau dann wenn $f$ bijektiv ist. Auch wenn die Funktion bijektiv ist, sprich das Urbild und die Umkehrfunktion existieren, dann sind diese nicht gleich. Du musst dabei den wesentlichen unterschied beachten, dass das Urbild eine Menge ist, genauer gesagt in unserem Fall eine Teilmenge von $A$. Die Umkehrfunktion hingegen ist eine Funktion. Das sind zwei völlig verschiedene Strukturen! Lass mich ein Beispiel machen:
Wir nehmen $f:\Bbb{R_+}\rightarrow \Bbb{R}$ wobei $f(x)=x^2$, dann wissen wir dass $f$ bijektiv ist und die Umkehrfunktion ist $$f^{-1}(x)=\sqrt{x}$$. Wenn wir nun aber $[0,1]\subset \Bbb{R}$ betrachten und darauf das Urbild anschauen erhalten wir $$f^{-1}([0,1])=\{x\in \Bbb{R_+}:f(x)\in[0,1]\}=\{x\in \Bbb{R_+}:x^2\in[0,1]\}=[0,1]$$
Ich hoffe das ist nun klar.

Nun gibt es noch eine "Einschränkung" der Urbilddefinition. Nämlich mann kann ja das Urbild auch von einer Einzelmenge betrachten. Also wenn wir $b\in B$ nehmen ist ja dann $\{b\}\subset B$ und daher können wir auch das Urbild der Einzelmenge $\{b\}$ betrachten, dieses ist wie folgt definiert:$$f^{-1}(\{b\})=\{a\in A:f(a)\in \{b\}\}=\{a\in A:f(a)=b\}$$ Nun hat das einen speziellen Namen. Man sagt dem Urbild einer Einzelmenge Faser.

Also im Beispiel wo $f(x)=x^2$ war können wir z.B. $$f^{-1}(\{4\})$$ betrachten, also das Urbild von $\{4\}$. Das ist dann $$f^{-1}(\{4\})=\{x\in \Bbb{R_+}:f(x)\in \{4\}\}=\{x\in \Bbb{R_+}:x^2\in \{4\}\}=\{x\in \Bbb{R_+}:x^2=4\}=\{2\}$$.

Ich hoffe das macht nun einiges klarer was die Theorie angeht. Überleg dir wirklich gut wieso dass das alles stimmt, und wenn du beim Beispiel unsicher bist rechne es nach.


Nun zu deiner Frage du musst ja eigentlich nur $g^{-1}(\{(1,2)\})$ bestimmen (also die Faser von $\{(1,2)\}$. Das ist per Definition $$g^{-1}(\{(1,2)\})=\{x\in \Bbb{R}:g(x)\in \{(1,2)\}\}=\{x\in \Bbb{R}:g(x)=(1,2)\}$$
Das heisst aber, dass du alle $x\in \Bbb{R}$ finden musst so dass $g(x)=(1,2)$ na gut da ersetzen wir doch mal $g(x)$ mit dem was wir haben, nämlich $$g(x)=(x+3,2x+1)=(1,2)$$ nun fässt dir was auf wie man das lösen könnte?

Hoffe das hilft, sonst meld dich einfach nochmals.

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Student, Punkte: 1.62K

 

Danke erstmal für deine Hilfe. Ich hab’s leider noch immer nicht verstanden. Ich fang mal an wie ich dies verstehe: ich muss die umkehrfunktion von g bilden und dort dann 1 und 2 einsetzen. ? Ich versteh leider auch nicht wie ich die Funktion g(x) = (1,2) lösen kann . ich habe versucht g(x) = (1,2) zu lösen, doch ich bekomme dann für x zwei unterschiedliche Werte raus. Ich denke mir fehlt es hier an grundlegendem Verständnis. Ich wäre für eine etwas ausführlichere Antwort sehr dankbar.   ─   mbstudi 07.04.2022 um 22:52

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@mbstudi Also ich werde versuchen meine Antwort zu editieren, um es klarer zu machen. Das könnte einige Minuten dauern.   ─   karate 07.04.2022 um 22:54

Ich verstehe auch den Zusammenhang von Urbild und umkehrfunktion leider garnicht. Das Urbild gibt die Elemente aus der Definitionsmenge an, die einem Element aus der wertemenge zugeordnet werden. Und die umkehrfunktion ist eine Funktion, die einem Element aus der wertemenge, ein Element aus der definitionsmenge zuordnet. Den Zusammenhang verstehe ich jedoch nicht   ─   mbstudi 07.04.2022 um 22:57

Vielen Dank Karate für deine Mühe   ─   mbstudi 07.04.2022 um 22:57

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kein Problem sorry hat eine Weile gedauert   ─   karate 07.04.2022 um 23:26

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@mbstudi Noch eine andere Frage was studierst du denn eigentlich? Ich frage deshalb, da ich dir sonst Literaturvorschläge machen könnte, damit du dich in solchen Definitionen und Themen zurechtfindest.   ─   karate 07.04.2022 um 23:41

Vielen Dank für deine mühe und die sehr ausführliche Antwort. Genau so eine Antwort habe ich gebraucht. Ich habe jetzt endlich nach stundenlangem suchen und lesen die Theorie verstanden. Die einzige Sache die ich nicht verstehe ist die : g(x) = (1,2) . Ich erhalte somit einmal die Gleichung x+3=1 (also x= -2) und einmal die Gleichung 2x+1=2 (x= 1/2). Wie kann es sein, dass ich für x zwei verschiedene Werte rausbekomme? Wenn ich für x -2 oder für x 1/2 einsetze in f(x) , dann bekomme ich in keinem Fall den Vektor (1,2) raus. Ich verstehe nicht was ich falsch gemacht habe.   ─   mbstudi 07.04.2022 um 23:50

Ich studiere Maschinenbau. Ich wäre sehr dankbar für Literaturvorschläge. Das Skript ist so geschrieben, dass du es erst verstehst, nachdem du die ganzen Sachen schon verstanden hast (damit meine ich, dass der Prof es versteht, aber jemand der noch relativ neu in diesem Gebiet ist und noch nicht das ganze Wissen hat, große Probleme mit dem verstehen hat). Der Professor erklärt so gut wie garnicht (er schreibt die Sachen nur kurz auf und sagt höchstens 1 Satz dazu), sodass ich mir mein ganzes Wissen übers Internet, YouTube und ähnlichem aneignen muss (was deutlich zeitintensiver und anstrengender ist) . Da waren ein paar Sachen, sodass ich nicht an den Übungen teilnehmen konnte. Ich kann auch niemanden fragen bei Problemen mit den Aufgaben, da ich die Leute aus meinem Kurs nicht kenne (war alles online). Deshalb bin ich umso dankbarer für deine hilfe   ─   mbstudi 07.04.2022 um 23:53

Das nennt man halt Studium. Es ist völlig normal, dass der Prof. sein Skript an die Tafel malt (falls er das überhaupt noch tut und keine Folien nimmt) und ein wenig dazu sagt. Enthalten sind dort aber in der Regel immer sämtliche Definitionen, Sätze und Beispiele. Der Prof. hat gar keine Zeit, alles stundenlang zu erklären und das wird er auch nicht. Es ist unabdingbar sich mit intensiv (!) mit den Unterlagen auseinanderzusetzen und ggf. selbstständig in anderen Quellen zu recherchieren. Der größte Teil des Studiums besteht aus reinem Selbststudium. Wer das bereits im ersten Semester nicht begreift, wird am Ende ziemlich verloren sein. So viel erstmal dazu.

Neben dem Skript des Profs. ist zusätzliche Literatur immer hilfreich. Da gibt es auch nicht "DAS" Werk, was am besten ist. Es kann auch nicht schaden, mehrere Bücher zur Hand zu haben, da jedes Buch Dinge anders erklärt und andere Beispiele verwendet. Davon kann man viel lernen. Empfehlenswert sind beispielsweise die Bücher von Papula.
  ─   cauchy 08.04.2022 um 00:03

Ja klar das habe ich auch verstanden. In den Vorlesungen lernt man zwar die Theorie, jedoch nicht wie man die Aufgaben löst. Noch viel wichtiger als die Vorlesungen sind somit die Übungen, da man dort auch Fragen stellen kann und einem geholfen wird. Mir war es leider nicht möglich in dem letzten Semester an den Übungen teilzunehmen, sodass dies der wesentliche Aspekt ist, warum ich so viel länger zum lernen brauche, da ich niemanden hatte der mir gezeigt hat, wie ich an die Aufgabe rangehen muss.   ─   mbstudi 08.04.2022 um 00:09

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Dafür sind die Aufgaben da, damit man das lernt. Dabei kann es dann helfen, im Internet nach anderen Beispielen zu suchen. Je intensiver man sich mit einer Aufgabe befasst, desto besser ist am Ende das Verständnis. Die Herangehensweise lernt man im Wesentlichen durch Üben und Ausprobieren. Mathematik bedeutet Tun!

Zu deinem eigentlichen Problem: Die Gleichung ist offenbar nicht lösbar, da du für $x$ zwei verschiedene Werte rausbekommst. Die Urbildmenge ist daher leer.
  ─   cauchy 08.04.2022 um 00:18

Danke. Ich wusste nicht dass die Urbildmenge leer sein kann. Heißt dies mit anderen Worten, dass es kein Element von der definitionsmenge gibt, welches dem Vektor (1,2) aus der Wertemenge zugeordnet wird? Und wäre dies nicht ein Widerspruch, da man ein Urbild eines Elementes sucht, welches garkein Urbild hat ?   ─   mbstudi 08.04.2022 um 00:23

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Nein, das ist kein Widerspruch. Schau dir an, wie die Urbildmenge definiert ist. Wenn eine Menge kein Element enthält, ist sie leer. Entsprechende Beispiele findet man bspw. auch bei Wikipedia. Das ist für den Anfang immer eine gute Quelle, wenn man gar nicht weiter weiß.   ─   cauchy 08.04.2022 um 01:09

@mbstudi So wie ich das nun sehe, hat sich die Frage geklärt was geschieht wenn du zwei verschiedene $x$ hast. Versuche da ruhig auch das zweite Urbild zu berechnen.

Nun noch kurz zur Literatur. Ich studiere halt Mathematik daher weiss ich nicht was du gerade besucht/besucht hast, aber wenn du Lineare Algebra 1 und Analysis 1 oder sogar Lineare Algebra 2 und Analysis 2 besuchst/besucht hast du du da Mühe hast, habe ich einige Vorschläge für dich. Was meinst du?
  ─   karate 08.04.2022 um 08:00

Ja gerne. Hab lineare Algebra (untervektorräume, lineare Abbildung, Quadriken, Matrizen, Vektoren, geraden, Ebenen, usw.) ich weiß nicht ob es jetzt lineare Algebra 1 oder 2 ist. Jetzt haben wir gerade auch angefangen, ich weiß aber nicht ob es 1 oder 2 ist (oder eventuell sogar ein mix aus beiden). Wenn es um gute Literatur geht, dann höre ich gerne zu :)

Das zweite Urbild habe ich berechnet, kam x= {-2} raus
  ─   mbstudi 08.04.2022 um 14:58

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Hallo

Zuerst zum zweiten Urbild. Also es ist richtig dass $x=-2$ ist. Aber es macht keinen Sinn zu schreiben $x=\{-2\}$ denn beachte, $x\in \Bbb{R}$ ist also ein Element aus den reellen Zahlen. $\{-2\}\subset \Bbb{R}$ ist aber eine Teilmenge der reellen Zahlen. Das macht keinen Sinn siehst du das?

Besser schreibst du $g^{-1}(\{(1,-3)\})=\{-2\}$.

Nun zur Literatur. Okey wir hatten da ein wenig anderen Stoff, aber dass du ein Buch findest dass alles abdeckt ist unwahrscheinlich. Ich würde dir wärmstens das Buch Tutorium der Linearen Algebra 1 und Analysis 1 empfehlen.

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-37366-4

Das ist ein extrem gutes Buch denn es ist nicht wie jedes Mathebuch aufgebaut. Du hast in jedem Kapitel immer zuerst Definitionen, dann kommen wichtige Sätze immer direkt mit Beweisen und dann am Schluss des Kapitels kommen zu jeder Definition und zu jedem Satz Bemerkungen. Sprich es wird kurz erläutert wieso man das Braucht, es hat aber auch viele vorgerechnete Beispiele wie man den Satz typischerweise braucht. Das fand ich extrem Hilfreich. Da aber Analysis und lineare algebra vorkommen wirst du natürlich nicht jeden Satz darin finden. Aber im ersten Semester hat mir das wirklich extrem geholfen vorallem weil halt auch alle basics enthalten sind. Schaus dir mal an aber ich würde mir da umbedingt bestellen vorallem wenn du auch mit den Basics wie Urbilder ect. Mühe hast. Sie haben es wirklich extrem gut geschrieben. Und du hast in beiden Fächern jeweils eine Probeprüfung.
  ─   karate 08.04.2022 um 21:27

Es muss dann aber $g^{-1}(\{(1,-3)\})=\{-2\}$ heißen.   ─   cauchy 08.04.2022 um 22:32

@Cauchy ah ja sorry hab ich übersehen. Mein Fehler. Danke für den Hinweis!
  ─   karate 08.04.2022 um 22:40

Vielen Dank an alle für die Hilfe und die Literatur   ─   mbstudi 08.04.2022 um 23:51

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@mbstudi Kein Problem, kannst mir ja beim nächsten "Treffen" mitteilen ob dir das Buch hilft;).   ─   karate 08.04.2022 um 23:54

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Werde ich machen. Ich muss es mir jetzt noch bestellen und abwarten bis es ankommt   ─   mbstudi 09.04.2022 um 22:28

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Bücher sollte man nicht gleich kaufen, sondern in der Bibliothek mal reinschauen. Was ein hilfreiches Buch ist, ist für jeden anders. In empfohlene Bücher schnuppert man mal rein, in mehrere, zum Vergleich. Dann kauft (muss auch nicht sein) man das, was einem selbst am meisten bringt, was für einen selbst verständlich ist.   ─   mikn 09.04.2022 um 23:06

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