Eigenwerte einer Matrix

Aufrufe: 47     Aktiv: 23.04.2021 um 19:27

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Ich habe nur eine kurze frage zur Eigenwert berechnung bei Matritzen, und zwar muss man ja Matritzen der Größe >=4x4 erst entwickeln damit man an die Determinante kommt btw ans Polynom.
Meine Frage ist ob man die Matrix erst in Zeilen-Stufen-Form bringen darf um das entwickeln leichter zu machen und dann immer noch aufs richtige Ergebnis kommt.
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2 Antworten
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Ja, du darfst elementare Zeilenumformungen machen, diese verändern die Determinante nicht. Zeilen- oder Spaltenvertauschungen verändern hierbei nur das Vorzeichen der Determinante.
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Das kommt drauf an, wie Du vorgehen willst.
Du darfst nicht: Erst die Matrix auf Dreiecksform bringen und dann das char. Polynom berechnen. Die Umformungen ändern die Eigenwerte.
Du darfst: Die Matrix \(A-xI\) so behandeln, d.h. auf Dreiecksform bringen und dann die Determinante berechnen. Die Umformungen ändern die Determinante nicht, aber nur wenn Du ausschließlich Umformungen der Form
Ersetze die i-te Zeile durch "i-te Zeile - Vielfaches der j-ten Zeile"
vornimmst. Alle anderen Umformungen ändern die Determinante.
Ich bezweifle aber, dass dieser Weg einfacher ist als das ursprüngliche Berechnen von \(\det (A-xI)\).
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Ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstanden habe, aber das heißt dann ich könnte zb.: bei einer 4x4 Matrix alle Einträge (außer einen) der ersten Spalte auf 0 setzen (indem ich jeweils das passende Vielfache des ersten Eintrages abziehe). Wenn ich dann nach der ersten Spalte entwickel muss ich ja nur noch mit
x*det(3x3) weiter rechnen um auf das char.Polynom zu kommen oder nicht.
  ─   albert 23.04.2021 um 19:21

Das darfst Du für \(A-xI\) machen, aber nicht für A. Und wenn Du es für \(A-xI\) machst, verteilst Du mit jedem Schritt die x'e über die ganze Matrix. Das wird nicht sehr bequem.   ─   mikn 23.04.2021 um 19:27

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