Vollständige Induktion

Aufrufe: 53     Aktiv: 15.04.2021 um 09:51

0
Hallo ich versetehe die vollständige Induktion nicht wirklich könnten sie mir bitte weiterhelfen

Vilen Dank im Vorraus
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 10

 

Ich habe dir doch schonmal bei Induktionsbeweisen geholfen und du hast nicht geantwortet....   ─   mathejean 15.04.2021 um 09:13

doppelt hält wahrscheinlich einfach besser   ─   b_schaub 15.04.2021 um 09:22

Kommentar schreiben

2 Antworten
0
Die aufgeführte Art von Induktion funktioniert eigentlich immer gleich.

Der Fall \(n=1\) lässt sich sofort einsehen (i.e. \(1^3 = \left( \frac{1\cdot (1+1)}{2} \right) ^2\) ).

Im Fall \(n+1\) müssen wir nun also unsere Induktionsannahme für \(n\) einsetzen:

\( \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k^3 \right) + (n+1)^3 = \left( \frac{n\cdot (n+1)}{2} \right) ^2 + (n+1)^3 \)

Um den Induktionsschritt zu vollenden ist also nur noch zu zeigen, dass \(\left( \frac{n\cdot (n+1)}{2} \right) ^2 + (n+1)^3 = \left( \frac{(n+1)\cdot ((n+1)+1)}{2} \right) ^2 \). Das lässt sich durch eine schlaue Umformung oder durch "Eliminierung" beider Seiten zeigen. Kommst du drauf? (Tipp: multiplizier beide Seiten ganz aus)
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 2.29K
 

Kommentar schreiben

0
Statt Ausmultiplizieren Ausklammern:\((\frac{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3=(n+1)^2(\frac{n^2}{2}+n+1)=(n+1)^2(\frac{n+2}{2})^2\)
Diese Antwort melden
geantwortet

Lehrer/Professor, Punkte: 2.8K
 

Kommentar schreiben