Die aufgeführte Art von Induktion funktioniert eigentlich immer gleich.

Der Fall \(n=1\) lässt sich sofort einsehen (i.e. \(1^3 = \left( \frac{1\cdot (1+1)}{2} \right) ^2\) ).

Im Fall \(n+1\) müssen wir nun also unsere Induktionsannahme für \(n\) einsetzen:

\( \sum_{k=1}^{n+1} k^3 = \left(\sum_{k=1}^{n} k^3 \right) + (n+1)^3 = \left( \frac{n\cdot (n+1)}{2} \right) ^2 + (n+1)^3 \)

Um den Induktionsschritt zu vollenden ist also nur noch zu zeigen, dass \(\left( \frac{n\cdot (n+1)}{2} \right) ^2 + (n+1)^3 = \left( \frac{(n+1)\cdot ((n+1)+1)}{2} \right) ^2 \). Das lässt sich durch eine schlaue Umformung oder durch "Eliminierung" beider Seiten zeigen. Kommst du drauf? (Tipp: multiplizier beide Seiten ganz aus)