Wir haben in Analysis und in Algebra jeweils verschiedene Definitionen für die Vollständigkeit festgelegt:

Algebra: Eine partiell geordnete Menge heißt vollständig, wenn jede Teilmenge ein Infimum und ein Supremum besitzt.

Analysis: Eine Menge ist vollständig, wenn in ihr jede Cauchy-Folge konvergiert. (Ordnungsbegriff ist hier ja eigentlich auch immer gegeben durch Norm etc.)

Für zum Beispiel offene oder abgeschlossene (bzw. sogar für alle) Intervalle in \( \mathbb{R} \) fallen die Begriffe zusammen. 

Sind sie allgemein äquivalent? Oder bedingt zumindest eine Definition die andere? Hat jemand Gegenbeispiele für eine Implikation?

Ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen! :)