Trigonometrische Additionstheoreme beweisen

Aufrufe: 84     Aktiv: 13.05.2021 um 14:13

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Ich möchte die zwei Additionstheoreme der trig. Fktn beweisen, aber mit \( z,w \in\mathbb{C}  \)


Ich habe mit dem zweiten (cos-)Theorem angefangen und bin soweit, dass ich mithilfe von: \( \sin(z) = \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}), \cos(z)= \frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) \) zeige:
$$\cos(z)\cos(w)-\sin(z)\sin(w) = \frac{1}{4}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)\cdot\left(e^{iw}+e^{-iw}\right) + \frac{1}{4}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\left(e^{iw}-e^{-iw}\right) =  $$
$$ = \frac{1}{4}\left(e^{i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{i(w-z)}+e^{-i(z+w)}  \right) $$
Ich weiß, dass ich nicht mehr weit von der Lösung bin, aber ich bin unsicher mit der Multiplikation der Exponenten. Stimmt das soweit und wie kann ich die weiter zusammenfassen? Meine Idee wäre: \( e^{i(z-w)} = e^{-i(z+w)} \). Ich weiß nämlich, dass ich am Ende 2 gleiche e-Potenzen haben muss, damit ich die zusammenfassen und dann mit der \( \frac{1}{4} \) bearbeiten kann.
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Student, Punkte: 227

 

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Ich glaube du hast dich irgendwo verrechnet. Die Vorfaktoren vor den e-Funktionen stimmen auch noch nicht richtig. Die beiden mittleren Summanden sollten sich herauskürzen.   ─   1+2=3 12.05.2021 um 18:58

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Ja, 1+2=3 hat recht. Die beiden Summanden in der Mitte fallen beim Ausmultiplizieren weg, dafür treten die anderen beiden doppelt auf. Im Ergebnis erhältst du dann

cos(z) cos(w) - sin(z) sin(w) = 0.5 ( exp(i*(w+z)) + exp(-i*(w+z)))

Und jetzt passt's.
  ─   mathematinski 12.05.2021 um 20:23

Gehen wir mal Stück für Stück durch und schauen uns erst mal nur cos(z)cos(w) an.
$$\cos(z)\cos(w)=\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)\cdot\frac{1}{2}\left(e^{iw}+e^{-iw}\right) = \frac{1}{4}\left(e^{i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{i(w-z)}+e^{-i(z+w)}\right)$$
Das stimmt soweit, oder? Falls ja, frag ich mich, wie sich das dann mit dem zweiten Teil (... -sin(z)sin(w)) verknüpft.
  ─   akimboslice 12.05.2021 um 22:47

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Ja das schaut gut aus. Naja das musst du genauso in e-Funktionen umschreiben und dann auflösen. Am Ende solltest du also insgesamt 8 Summanden, jeweils 4 pro Klammer, haben die du dann zusammenfassen kannst.   ─   1+2=3 12.05.2021 um 22:50

Ich hab's tatsächlich hingekriegt. War eine gute Übung. Danke für die Hilfe.   ─   akimboslice 13.05.2021 um 14:13

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1 Antwort
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Hallo!

Du machst dir das Leben unnötig schwer! Es ist viel einfacher, wenn du dir den Ausdruck exp(i\(\cdot\)(x+y)) = exp(i\(\cdot\)x)\(\cdot\)exp(i\(\cdot\)y) mit Hilfe der Eulerschen Formel anschaust und Real- und Imaginärteile vergleichst. Ohne die kommst du bei deinem Ansatz ohnehin nicht ans Ziel ...

Gruß, Ruben
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Trotzdem eine gute Idee und ich würde gern wissen, wie das mit den Exponenten funktioniert.   ─   akimboslice 12.05.2021 um 19:04

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Ach so, jetzt verstehe ich, glaube ich, erst dein problem. Du willst für beliebige komplexe Zahlen w, z zeigen, dass sin(w + z) = sin(w) cos(z) + sin(z) cos(w). Aua, da habe ich dann ja mit meinem Kommentar gehörig daneben gezielt. Sorry.   ─   mathematinski 12.05.2021 um 19:10

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