Eine Parametergleichung einer Geraden g stellt man nach folgendem Kochrezept auf:
Schritt 1: Man wähle drei beliebige Punkte C, D, E der Geraden g.
Allerdings mit einer kleinen Einschränkung: \(D\not= E\).
Schritt 2: Dann lautet die Parametergleichung
\( \vec{x} = \vec{C} + r [ \vec{D}-\vec{E}] \)
C, D und E muss man hier in die Gleichung einsetzen, \( \vec{x} \) und r bleiben unverändert, als Buchstaben, stehen.

Und da g unendlich viele Punkte hat, hat man unendlich viele Möglichkeiten, C,D und E zu wählen, und damit unendlich viele Möglichkeiten, eine Parametergleichung aufzustellen.

Zwei dieser unendlichen vielen Punkte sind in der Aufgabe genannt: A und B. Mit diesen beiden kann man nun die Parametergleichungen aufstellen.

Erste Parametergleichung:
Schritt 1: Wähle C=A, D=B, E=A. Dann ist \(D\not= E\), und C,D,E sind alles Punkte auf der Geraden. Also: Diese Wahl ist schon mal ok.
Schritt 2: Einsetzen von C,D,E liefert
\( \vec{x} = \vec{A} + r [ \vec{B}-\vec{A}] \)

Einsetzen der Koordination von A und B liefert:
\( \vec{x} =
\left(\begin{array}{c}-2\\3\\0\end{array}\right)+ r\left[
\left( \begin{array}{c} 1\\ 6\\-3  \end{array} \right)
-  \left(\begin{array}{c}-2\\3\\0 \end{array}\right)
\right]
= \left(\begin{array}{c}-2\\3\\0\end{array}\right)+ r\left(\begin{array}{c}3\\3\\-3\end{array}\right)
\)

Das füllt schon mal die Lücken der linken Hälfte der Aufgabe.

Zweite Parametergleichung:
Schritt 1: Wähle C=B, D=B, E=A.
Schritt 2: Einsetzen von C,D,E liefert
\( \vec{x} = \vec{B} + r [ \vec{B}-\vec{A}] \)
Hier auch wieder die Koordinaten von A und B einsetzen. Das liefert dann, so ähnlich wie oben, wieder etwas, was dann die Lücken der rechten Aufgabenhälfte füllt.

Und im Übrigen hasse ich die Vektorpfeil-Schreibweise immer noch wie die Pest. Wäre ich Bildungsminister, ich würde sie verbieten.

Naja, wenn Du schreibst x = (1;6;-3)+r mal [(1;6;-3) - (-2;3;0)]", dann hast Du's ja schon fast geschafft. Die einzige Klippe: Wie berechnet man den Ausdruck in den eckigen Klammern, also (1;6;-3) - (-2;3;0).

Die Berechnung von (1;6;-3) - (-2;3;0) erfolgt komponentenweise. Damit meine ich folgendes:
1. Komponente des ersten Vektors     -    1. Komponente des zweiten Vektors     =     1. Komponente des Ergebnisses
2. Komponente des ersten Vektors     -    2. Komponente des zweiten Vektors     =    2. Komponente des Ergebnisses
3. Komponente des ersten Vektors     -    3. Komponente des zweiten Vektors     =     3. Komponente des Ergebnisses

In diesem Beispiel wäre das dann
1     -    -2      =      1. Komponente des Ergebnisses
6     -    3       =       2. Komponente des Ergebnisses
-3     -    0      =      3. Komponente des Ergebnisses  

Nun die Zahlen links der Gleichheitszeichen ausrechnen. Aus diesen drei Zahlen einen Vektor formen, dann hat man (1;6;-3) - (-2;3;0).