Betrachte einmal folgendes Beispiel:

Ein Thermograph zeichnet über einen längeren Zeitraum zu jedem Zeitpunkt \(t\) die Temperatur \(T(t)\) auf. Man deutet mal folgende Ausdrücke:

(1) \(T(t+h)-T(t)\)

(2) \(\dfrac{T(t+h)-T(t)}{h}\)

(3) \(T'(t)\)

Man betrachte die folgende Skizze:

(1) \(T(t+h)-T(t)\) beschreibt den Temperaturunterschied zwischen den beiden Zeitpunkten \(t\) und \(t+h\).

(2) \(\dfrac{T(t+h)-T(t)}{h}\) ist der Differenzenquotient und soll die mittlere Änderungsrate der Temperatur zwischen den Zeitpunkten \(t\) und \(t+h\) verdeutlichen. Stell dir dazu eine Gerade durch die Punkte \(P_1(t|T(t))\) und \(P_2(t+h|T(t+h))\) vor.

(3) \(T'(t)=\underset{h\longrightarrow 0}{\lim} \dfrac{T(t+h)-T(t)}{h}\) ist der Differentialquotient und gibt als Grenzwert des Differenzenquotienten den (momentanen) Anstieg der Funktion \(T(t)\) im Punkt \(t\) an. Stelle dir vor die Gerade des Differenzenquotienten, welche ja durch die Punkte \(P_1\) und \(P_2\) gehen soll wird als Grenzwert eine Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt \(P_1\).

Was bedeutet es denn jeweils, wenn der Wert von den Termen aus (1) - (3) kleiner bzw. größer Null ist?

Hilft dir das um den Unterschied zwischen Differenzen- und Differentialquotienten besser zu verstehen?