Basis(Kern(A))

Aufrufe: 198     Aktiv: 04.11.2023 um 21:51
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Hallo ich muss hier von der im Screenshot angegeben Matrix A die Dim(Kern und Bild) und die Basis(Kern und Bild) angeben, wie auch den Rangsatz verwenden. 

Bzgl. der Bestimmung der Basis vom Kern würde ich gerne wissen, ob ich die beiden Variablen für Lambda 3 und 4 frei (sind ja die nicht Pivot-Spalten und sollten damit linear abhängig sein) wählen kann und meine Lösung für die Basis Kern(A) korrekt ist. 
Danke und viele Grüße
Don

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Was machst Du denn da? Was ist A(2), was ist A|B(2), und was ist dim(A)? Dimension gibt es nur bei Räumen. Man hat den Eindruck, Du hantierst mit Begriffen ohne dass Du weißt, was Du tust. Das kann nicht gut gehen.
Der Rang ist die Dim. des Spaltenraums, zugleich Dim. des Zeilenraums. Die kannst Du aus Deiner ZSF sofort ablesen, hast Du nicht gemacht.
Also: rg(A) = 2 = dim Bild(A). Eine Basis davon liest man auch direkt ab, hast Du nicht gemacht, stattdessen irgendwas gerechnet.
"Es gibt mehrere Lösungen von $\lambda\cdot A=0$"? Was soll das nun heißen.
Der Rangsatz sagt: dim (Defbereich) = dim kern(A) + dim bild(A).
Also ist sofort klar: dim kern (A)=2.
dim(A(4))????
kern(A) ist kein Gleichungssystem, sondern ein Raum der Dim 2. Wir brauchen also nur eine Lösung zu finden. Diese liest man am einfachsten geschickt ab (man braucht den Zahlenraum von -10 bis 10 in Z nicht verlassen).
Z.B.: $x1=(-3,2,1,0)^T, x2=(4,-3,0,1)$, also: Basis von kern(A) $= \{x1,x2\}$
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.09K

 
Moin mikn,

danke für deine schnelle Hilfe.

Mit A(2) meinte ich den Rang(A), mit dim(A) die dim (Defbereich) .Die Dimension vom Kern und Bild habe ich anhand der ZSF abgelesen (abhängige und unabhängige Vektoren), da 2 Pivot Positionen in der Matrix in ZSF. Steht dort in grün und rot.

Wo der Unterschied zwischen Basis vom Kern und dem Kern an sich steckt, raffe ich nicht. Dachte immer der Kern ist das was ich einsetze, damit ich am Ende beim homogenen GLeichungssystem lande, sprich damit rechts der Matrix 0 rauskommt. Mit deiner Lösung (4, -3, 0, 1) lande ich bei 0. Für die Basis muss ich hier doch zwei konkrete Vektoren wählen und kann keine Variablen verwenden?

Ich schau es mir nochmal en Detail an.

Dein Eindruck täuscht dich übrigens nicht. Deshalb bin ich hier.

Danke dir und viele Grüße
Don



  ─   donkanalie 04.11.2023 um 20:51
Das Erfinden von eigenen, neuen Schreibweisen ist ein weiterer Weg sich Verwirrung einzuhandeln. Verwende ausschließlich die üblichen Bezeichnungen und achte auf jedes(!) einzelne Zeichen.
Den Unterschied zwischen einer Basis eines Raums und dem Raum selbst findest Du in Deinen Unterlagen weiter vorne. Erst wenn das klar ist, sollte man daran gehen Räume im Zusammenhang mit Matrizen und LGS zu untersuchen. Schau Dir die dortigen einfachen(!) Beispiele an, bevor(!) Du zu komplizierteren Situationen wie dieser hier gehst.   ─   mikn 04.11.2023 um 21:04
Habe jetzt auch die Basis(Kern(A)) herausbekommen. Wusste nicht, dass ich die Elemente in ZSF über der 1 auf der Diagonalen auch erst zur 0 umformen muss. Hatte nur die 0-Zeile ergänzt bis ich bei 4x4 Matrix war und dann an der Stelle der 0 auf der Diagonalen die -1 eingesetzt.

Jetzt klappts.
Danke für deine Hilfe.
  ─   donkanalie 04.11.2023 um 21:32
Verstehe nicht, was Du gemacht hast. Es gibt auch keine "muss"-Umformungen. Aber wenn Du alles richtig ausgerechnet hast, ist's ja gut.   ─   mikn 04.11.2023 um 21:51

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