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Du kannst die Wahrscheinlichkeiten auf verschiedene Weisen berechnen. Das hängt davon ab, wie du deine Zufallsvariable \(X\) festlegst. Ich habe mal beide Varianten aufgezeigt und die andere Zufallsvariable einfach \(Y\) genannt.
\(X: \mathrm{Anzahl\ der\ Haushalte\ mit\ Heimtrainer.}\) Es ist \(n=100\) und \(p=0{,}3\).
\(Y: \mathrm{Anzahl\ der\ Haushalte\ ohne\ Heimtrainer.}\) Hier ist \(p=0{,}7\).
(1) Genau 68 Haushalte besitzen keinen Heimtrainer = 32 Haushalte besitzen einen Heimtrainer.
\(P(X=32)\approx 0{,}0776\)
\(P(Y=68)\approx 0{,}0776\)
(2) Weniger als 71 Haushalte besitzen keinen Heimtrainer = Mindestens 100-70=30 Haushalte besitzen einen Heimtrainer.
\(P(X\geq 30)=1-P(X<30)=1-P(X\leq 29)\approx 0{,}5377\)
\(P(Y<71)=P(Y\leq 70)\approx 0{,}5377\)
(3) Höchstens 68 Haushalte besitzen keinen Heimtrainer = Mindestens 32 Haushalte besitzen einen Heimtrainer.
\(P(X\geq 32)=1-P(X<32)=1-P(X\leq 31)\approx 0{,}3669\)
\(P(Y\leq 68)\approx 0{,}3669\)
(4) Mehr als 71 Haushalte besitzen keinen Heimtrainer = Höchstens 28 Haushalte besitzen einen Heimtrainer.
\(P(X\leq 28)\approx 0{,}3768\)
\(P(Y>71)=1-P(Y\leq 71)\approx 0{,}3768\)
Bitte nochmal klarmachen, warum das, was du da formuliert hast, KEINE Gegenereignisse sind. Bei den Gegenereignissen beziehst du dich immer auf DIESELBE Zufallsvariable. Das heißt, das Gegenereignis von "Mehr als 71 Haushalte besitzen keinen Heimtrainier" ist NICHT "Höchstens 28 Haushalte besitzen einen Heimtrainer", sondern "Höchstens 71 besitzen keinen Heimtrainer". Die ersten beiden Aussagen sind gleichbedeutend und liefern dieselbe Wahrscheinlichkeit. Diese werden aber mit unterschiedlichen Zufallsvariablen berechnet, da sich das \(p\) unterscheidet. Die Rechnung oben zeigt auch ganz deutlich, dass all diese Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen, wenn man die Zufallsvariable wechselt.
Ich hoffe, dass ist etwas deutlicher geworden. Wenn nicht, frag gerne nochmal nach.
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