Sinus und Rechter Winkel willkürlich?

Aufrufe: 343     Aktiv: 05.10.2022 um 20:02

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Liebes Forum,

die Definition des Sinus für rechtwinklige Dreiecke fußt ja darauf, dass das Verhältnis aus Gegenkathete zu Hypotenuse immer gleich ist, solange man alpha konstant hält. Dieses Verhältnis heißt Sinus(alpha).

Soweit, so gut. 
Das liegt aber daran, dass alle Dreiecke mit alphe konstant und einem rechten Winkel auch im dritten Winkel übereinstimmen und somit ähnliche Dreiecke sind.

Theoretisch könnte ich aber doch auch ein beliebiges Dreieck betrachten. Jetzt lasse ich alpha konstant und achte darauf, dass z.B. auch der Winkel gamme konstant bleibt (und damit auch betha). Ich erhalte nun auch wieder ausschließlich zueinander ähnliche Dreiecke, ich welchen z.B. das Verhältnis aus der Seite a und b konstant bleibt. 

Ist es also nur Willkür, dass der Sinus für rechtwinklige Dreiecke definiert wurde? Hätte man ihn z.B. nicht auch für 80° Dreiecke definieren können? Das Argument mit den gleichen Verhältnissen ist ja nicht wirklich eines...

Was übersehe ich gerade :-O?
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1 Antwort
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"....alpha konstant und achte darauf, dass z.B. auch der Winkel gamme konstant bleibt (und damit auch betha)...": damit sind diese Dreiecke (wie Du ja auch sagst) alle ähnlich und auch alle rechtwinklig. Damit sind wir aber wieder bei der bekannten Def. von sinus.
Wenn Du meinst, dass Du mit nicht-rechtwinkligen startest, ja, dann bleibt das Verhältnis auch konstant, wenn die Winkel alle gleich bleiben - das ist die Aussage vom sinus-Satz.
Die Def. vom sinus ist quasi ein Spezialfall des sinus-Satzes (probier aus, wg $\sin 90^\circ =1$).
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Lieber Mikn,
du schreibst: "damit sind diese Dreiecke (wie Du ja auch sagst) alle ähnlich und auch alle rechtwinklig".
Wieso sind sie alle rechtwinklig, das muss ja nicht sein.

Sinussatz ist mir schon klar...

Meine Frage ist eher: Hätte man den Sinus an sich auch definieren können als: a/b in einem beliebigen Dreieck, solange Winkel Betha immer 80° (oder ein beliebiger anderer Wert) ist? Sprich: Dass in der herkömmlichen Definition (passend zu a/b) der Winkel betha=90° hat, ist "willkürlich"?

Wenn ich Sinus(alpha) so definiert hätte, dass er mir das Verhältnis b/a bei betha=80° herausgibt, hätte ich damit ja auch fehlende Längen berechnen können oder nicht.

  ─   handfeger0 05.10.2022 um 19:26

Ich meine der Sinussatz ermöglicht zwar die Berechnung in beliebigen Dreiecken. Für der Herleitung nutzt man ja aber schon die eigentliche Definition des Sinus (eben als GK/HY im RECHTWINKLIGEN Dreieck)...   ─   handfeger0 05.10.2022 um 19:31

Lieber Mikn,
aber ist einer deiner Definition der sin(80 Grad) nicht auch wieder der herkömmliche Sinus? :D
  ─   handfeger0 05.10.2022 um 19:54

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.