Differentialquotient auf kompakter Menge Ungleichung Beweis

Erste Frage Aufrufe: 169     Aktiv: 31.05.2024 um 00:45

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Im Bild sieht man meinen bisherigen fortschritt. Da ich in dem Kurs so mittig eingestiegen bin, habe ich das Gefühl dass hier irgendwas schiefgeht. Darf $\lambda$ überhaupt gegen $\infty$ gehen ?
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Student, Punkte: 14

 

Differenzialquotienten tauchen hier nicht auf, wohl aber ein Differenzenquotient. Ich hab Deine tags entsprechend editiert.   ─   mikn 17.05.2024 um 14:18
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Du hast schon die richtige Idee, dass man $\lambda >0$ so groß wählen muss, dass $|\frac{x}{\lambda}|< h$.

Jetzt steht aber hinter der Ungleichung aus der Aufgabe noch ein "für alle $x \in K$". Wie erreichst du also, dass du ein $\lambda > 0$, welches NICHT von Punkt $x \in K$ abhängt, eben $|\frac{x}{\lambda}| <h?$ Hier kommt die Kompaktheit von $K$ ins Spiel.

Da $g$ an der Stelle $x^*$ differenzierbar ist, gibt es ein für alle $\epsilon>0$ ein $\delta>0$, so dass

$$|h| < \delta \implies |\frac{g(x^*+h)-g(x^*)}{h}-g'(x^*)|< \epsilon. $$

Sei nun $x \in K$ beliebing. Da $K$ kompakt ist, gilt $|x| \leq C$ für alle $x \in K$ für ein $C>0$ unabhängig von $x$. Dann schauen wir uns an

$$\frac{|x|}{\lambda} < \delta  \iff \frac{|x|}{\delta} < \lambda $$.

Nun ist dies ungleichung aber noch von $x$ abhängig - wenn wir aber nun

$$ \lambda > \frac{C}{ \delta}  \geq \frac{|x|}{\delta}$$

wählen, dann ist die bedinung

$$\frac{|x|}{\lambda}< \delta$$
sicherlich erfüllt für ein $\lambda$ unabhängig von $x$. Mit der obigen Definition der Differenzierbarkeit folgt die Aussage für $|h|=\frac{|x|}{\lambda}  < \delta $.

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Also ich dachte wenn $\lambda$ gegen $\infty$ geht, gilt die Ungleichung für alle $x$ weil $x$ eben endlich ist. Also wenn ich egal welches $x$ durch $\lambda$ teile, bekomme ich einen Ausdruck der immer gegen $0$ geht.   ─   piffelpaff 17.05.2024 um 14:35

Also ich denke die Beschränktheit des Intervalls $K$ verstehe ich, aber nicht wieso es nicht auch offen sein kann.
Und natürlich schonmal lieben Dank für den Denkanstoß :))
  ─   piffelpaff 17.05.2024 um 14:36

Ich komme leider nicht weiter :/   ─   piffelpaff 17.05.2024 um 16:49

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Ich habe dir den vollständigen Beweis gegeben. Habe versucht, detailliert zu sein.   ─   crystalmath 17.05.2024 um 18:20

Lieben Dank :) Ich bin dann doch so fast auf deinen Weg gekommen. Habs zwar nicht rechtzeitig gelesen aber dennoch danke ^^.
Ich habe trotzdem nicht ganz verstanden wieso man nicht einfach lambda IMMER gegen unendlich wählen kann :D
  ─   piffelpaff 31.05.2024 um 00:45

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