Du hast schon die richtige Idee, dass man $\lambda >0$ so groß wählen muss, dass $|\frac{x}{\lambda}|< h$.

Jetzt steht aber hinter der Ungleichung aus der Aufgabe noch ein "für alle $x \in K$". Wie erreichst du also, dass du ein $\lambda > 0$, welches NICHT von Punkt $x \in K$ abhängt, eben $|\frac{x}{\lambda}| <h?$ Hier kommt die Kompaktheit von $K$ ins Spiel.

Da $g$ an der Stelle $x^*$ differenzierbar ist, gibt es ein für alle $\epsilon>0$ ein $\delta>0$, so dass

$$|h| < \delta \implies |\frac{g(x^*+h)-g(x^*)}{h}-g'(x^*)|< \epsilon. $$

Sei nun $x \in K$ beliebing. Da $K$ kompakt ist, gilt $|x| \leq C$ für alle $x \in K$ für ein $C>0$ unabhängig von $x$. Dann schauen wir uns an

$$\frac{|x|}{\lambda} < \delta  \iff \frac{|x|}{\delta} < \lambda $$.

Nun ist dies ungleichung aber noch von $x$ abhängig - wenn wir aber nun

$$ \lambda > \frac{C}{ \delta}  \geq \frac{|x|}{\delta}$$

wählen, dann ist die bedinung

$$\frac{|x|}{\lambda}< \delta$$
sicherlich erfüllt für ein $\lambda$ unabhängig von $x$. Mit der obigen Definition der Differenzierbarkeit folgt die Aussage für $|h|=\frac{|x|}{\lambda}  < \delta $.