Modf sei eine Äquivalenzrelation

Aufrufe: 515     Aktiv: 17.01.2021 um 13:39

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Aufgabe:

Für eine Abbildung f: X->Y von Mengen definieren wir durch x mod_f y :<=> f(x)=f(y) eine Relation "modf" auf X.

Erste Aufgabe:

Ich muss zeigen, dass die Relation "modf" für jede Abbildung f eine Äquivalenzrelation ist.

 

Eine Relation R auf M heißt ja Äquivalenzrelation, wenn R reflexiv, tranisitiv und symmertrisch ist.

reflexiv: Wenn für alle a Element M: aRa, also a steht in Relation zu a bzw. zu sich selbst.

symmetrisch: Wenn für alle a, b Element M: aRb=>bRa, also a steht in Relation zu b und b steht in Relation zu a.

transitiv: Wenn für alle a, b, c Element M: aRb und bRc => aRc. Also wenn a in Relation zu b und b in Relation zu c steht dann steht a in Relation zu c.

 

Wie zeige ich das für modf? Bzw. Wie wende ich diese Eigenschaften an?

 

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Verwende die Definition von \(\mathrm{mod}_f\) und die Definitionen der Eigenschaften einer Äquivalenzrelation als Rezept, um sie eine nach der anderen nachzuweisen. Imitiere dabei die Sprache und das Vorgehen aus der Vorlesung. Ich fange Mal für Dich an:

reflexiv: Sei \(x\in X\) gegeben. Dann gilt \(f(x)=f(x)\). Daraus folgt ...

symmetrisch: Seien \(x,y\in X\) mit \(x\ \mathrm{mod}_f\  y\) gegeben. Es folgt ...

transitiv: Seien \(x,y,z\in X\) gegeben mit ...

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reflexiv: dann sollte es ja es ein eindeutiges Bild für x geben, oder?
symmetrisch: Es folgt f(x)=f(y)=>f(y)=f(x)?
Transitiv: f(x)=f(y) und f(y)=f(z) daraus folgt dann f(x)=f(z).
So vielleicht?
  ─   anonym390d4 17.01.2021 um 11:58

genau so ist es.   ─   tonypsilon 17.01.2021 um 12:02

Super, danke!   ─   anonym390d4 17.01.2021 um 12:18

Zu der Aufgabe gibt es noch eine Teilaufgabe, bei der ich auch nicht weiß wie man sie angehen muss:

Für jede Äquivalenrelation "~" auf einer Menge X existiert eine Menge Y zusammen mit der Abbildung f: X->Y, sodass "~" und modf übereinstimmen.
Könnte jemand mir vielleicht bitte einen Ansatz geben?
  ─   anonym390d4 17.01.2021 um 12:25

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Zur Teilaufgabe (Beantwortung von Fragen in Kommentaren soll vermieden werden) :

~ setzt zwei Elemente aus X in Relation, da es eine Äquivalenzrelation auf X ist. \( mod_f\) verwendet eine Funktion \(f: X \rightarrow Y \). Als erstes sollte geklärt werden, worum es sich in diesem Fall bei der Menge Y handelt. 

Für den Rest: Denk Dir am besten zunächst ein Beispiel aus für eine Menge X und eine Äquivalenzrelation ~ und bilde dann die gesuchte Abbildung f, dann erkennst du schnell das Schema :-)

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Y wäre ja das Bild, oder nicht?
Kann ich dann für die Menge X die natürlichen Zahlen nehmen und zb die Relation symmetrisch nehmen?
  ─   anonym390d4 17.01.2021 um 13:32

Ja, Y ist das Bild, aber man kann hier schon genau sagen, was Y sein wird, wenn man X kennt.
Ich weiß nicht, was du mit der Relation "symmetrisch" meinst?
  ─   tonypsilon 17.01.2021 um 13:39

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