Epsilon Kriterium

Aufrufe: 67     Aktiv: 10.03.2021 um 17:19

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Warum beweist das Epsilon Kriterium den Grenzwert? 

könnte nicht bei einem anderen "Grenzwert" das auch bewiesen werden?

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1 Antwort
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Hey Sia,

der Trick ist ja gerade, dass der Grenzwert für alle \( \epsilon > 0 \) die Bedingung erfüllen muss. Dadurch kannst du eine beliebig kleine Umgebung um den Grenzwert definieren und dadurch ist der Grenzwert eben auch eindeutig bestimmt.

Du schaust dir somit immer einen "Schlauch" um den Grenzwert mit der Breite \( 2\epsilon \) an (das entsteht durch den Betrag). Der Grenzwert ist nur dann der Grenzwert, wenn du für alle beliebig kleinen \( \epsilon \) immer noch Folgenglieder findest, die in dieser Umgebung liegen.

Also kurz zusammengefasst: Weil du das \( \epsilon \) beliebig klein wählen kannst, deshalb ist der Grenzwert eindeutig definiert, sofern er denn existiert.

Ich hoffe ich habe deine Frage richtig verstanden und konnte dir damit weiterhelfen.

VG
Stefan
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Was wäre wenn man mit einem falschen Grenzwert rechnen würde?   ─   sia21 09.03.2021 um 19:55

Du würdest ein \( \epsilon \) finden, für das die Bedingung eben nicht mehr gilt.   ─   el_stefano 10.03.2021 um 09:36

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"immer noch Folgenglieder findest, die in dieser Umgebung liegen": Das reicht eben nicht. Das könnte auch für mehrere "Grenzwerte" erfüllt sein. Es müssen für jedes \(\epsilon\) ALLE ab einem \(n_0\) das von \(\epsilon\) abhängt, drin liegen. Das kann eben nicht für mehrere "Grenzwerte" gelten, denn wenn man die Umgebung so klein macht, dass ein zweiter "Grenzwert" nicht in der Umgebung des ersten liegt, können nicht in jeder Umgebung des zweiten (falschen) alle ab einem \(n_0\) liegen, wenn sie das für den ersten (richtigen) auch tun.   ─   mikn 10.03.2021 um 17:19

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