Hallo sayuri,

Wie hat mein Prof früher gesagt: "Während man beim Ableiten stupide Regeln anwendet, ist integrieren eine Kunst." 
Für das Auffinden der Stammfunktion gibt es leider kein Erfolgsrezept^^. Aber wenn man zum Beispiel oft genug substituiert hat entwickelt man irgendwann ein Auge dafür, welche Substitution einem zum Erfolg führen könnte. Als Tipp hätte ich vielleicht noch bei gebrochenrationalen Funktionen, dass man versucht den Bruch so umzustellen, dass man \(\dfrac{1}{z^2-1}\) oder \(\dfrac{1}{z^2+1}\) erhält, wobei \(z\) für einen beliebigen Term in Abhägigkeit von \(x\) steht, den man günstig substituiert hat.ich kann dir die YouTube-Kanäle MichaelPenn bzw. FlammableMaths empfehlen, diese lösen immer mal recht komplizierte Integrale und wenden dabei einige Methoden an, die man sich anschauen kann. (Beim zweiten Kanal "FM" musst du in den älteren Videos von ihm schauen) Hiet die Links zu den Kanälen:

https://m.youtube.com/channel/UC6jM0RFkr4eSkzT5Gx0HOAw

https://m.youtube.com/channel/UCtAIs1VCQrymlAnw3mGonhw

Welche Methode auch zum Erfolg führen kann ist die Feynman-Methode. Dabei wird eine Variable in der Ausgangsfunktion eingeführt, wobei nach dieser Variable integriert wird um die Stammfunkio zu finden. Dann wird für die Variable der Wert so eingesetzt (meist 0 oder 1), so dass das Ausgangsintegral da steht. Wenn die Erklärung dazu jetzt zu unbefriedigend war :D, dann hier noch ein Link zu einem Beispiel:

https://m.youtube.com/watch?v=sdWpmwutSHE

Hoffe das hilft dir erstma weiter und gibt dir ausreichend Input, um für die Zukunft die Integralr besser lösen zu können. ;)