ALLGEMEINE LÖSUNG | INHOMOGENE DGL 1. ORDNUNG

Aufrufe: 252     Aktiv: 17.04.2023 um 19:45
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Nein das geht so nicht, nach der Substitution darf kein $x$ mehr vorkommen. Du musst die Integrationsvariable komplett ersetzen.

Einfach ist die Stammfunktion hier nicht zu bestimmen. Ich hab jetzt eine Möglichkeit gefunden indem man zuerst $3$ innerhalb der Wurzel ausklammert und durch die Linearität vor das Integral zieht. Dann substituiere mal $z=\arcsin\left( \sqrt{\frac{2}{3}}x\right)$, also $x=\sqrt{\frac{3}{2}}\sin(z)$. Hast du das erfolgreich geschafft, nutze den trigonometrischen Pythagoras, dann solltest du den Rest berechnen können. Vielleicht geht es eleganter und ein Helferkollege hat einen smarteren Weg.
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^ ehrlich gesagt habe ich die substitution auch im integralrechner gesehen aber wie man darauf kommt würde ich gern wissen.   ─   moabit.rolf 17.04.2023 um 19:04

Die Idee ist auf den trigonometrischen Pythagoras zu kommen. Aus $a-bx^2$ versuchst du nach Substitution auf $a-asin^2(z)=a(1-\sin^2(z))$ zu kommen. Alternativ kannst du natürlich auch auf $a-a\cos^2(z)$ abzielen.

Da Sinus und Kosinus sich beim ableiten abwechseln und man durch den trigonometrischen Pythagoras den $\sin$-Term in einen $\cos$-Term umwandeln kann, hat man am Ende nur $\cos$ bzw. nur $\sin$ im Integral stehen und man kann dann deutlich besser weiter die Stammfunktion ermitteln.

Wie gesagt vielleicht gibt es auch eine Variante ohne trigonometrische Substitution. Wie man darauf kommt, üben mit vielen verschiedenen Stammfunktionen und ein Gefühl dafür entwickeln.
  ─   maqu 17.04.2023 um 19:29

ok, danke erstmal dafür   ─   moabit.rolf 17.04.2023 um 19:45

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